Kjenn dine akser!

Kjennskap til og forståelse for dimensjonene vår eksistens er begrenset til gjør at vi kan utnytte dem til vår fordel.

Vi lever i en 3-dimensjonal verden. Så langt i hvert fall.

Vi kan bevise det ved å tegne en strek, for så å strekke en ny strek fra den som er 90° i forhold til den første, på samme plan.

Dette kan vi gjøre én gang til, men den kan ikke være på det samme planet! Den nye streken er nå 90° på de to andre strekene.

Nå har vi 3 streker som peker hver sin retning. Kan vi gjøre det igjen? Nei, det går ikke, det er ikke flere dimensjoner å strekke seg ut i som gjør at en fjerde strek vil være 90° i forhold til alle de andre strekene.

Under er en visuell representasjon av dimensjonene. Legg merke til at selv om bildet vises på en 2D skjerm, kan vi fremdeles simulere 3 dimensjoner, som gir bildet perspektiv.

Men kanskje den ikke trenger å være det i den fjerde dimensjonen, hva vet jeg, men i de tre dimensjonene vi lever i går det i hvert fall ikke an.

En roterende hyperkube. Et forsøk på å visualisere en 4-dimensjonal kube, kjent som en tesserakt. Det ser ikke sånn ut, men alle vinklene er teoretisk sett 90°.

---

Kartesisk koordinatsystem

Et punkt på et plan er definert med et koordinat. Ordet koordinat er for øvrig et sammensatt ord av prefikset ko-, som betyr sammen eller til, og baseordet ordinat, som kommer fra Latin ordinare, og betyr å ordne eller sette i rekkefølge. Et ordinat er et punkt på samme linje parallelt med en akse, vanligvis Y-aksen i matematikk, og ordinater langs X-aksen kalles for en abscisse. Disse to verdiene… koordinerer… med hverandre for å definere et punkt på et plan. Dette er et koordinat.

Aksene som utgjør et koordinatsystem kalles X og Y, der X alltid er den horisontale og Y alltid er den vertikale.

Koordinater defineres med variablene X og Y i parentes slik: (X, Y) som definerer en distanse langs den respektive aksen fra nullpunktet i midten der aksene krysser. Dette punktet heter origo, fra Latin opphav eller opprinnelse. Variablene oppgis ALLTID i alfabetisk rekkefølge. (Den fjerde dimensjonen oppgis faktisk med W, men det er fordi det ikke er flere bokstaver etter Z i det engelske alfabetet. Kanskje vi burde kalle den Æ-aksen her til lands. Det angår uansett ikke oss, så nok om det.)

Et koordinatsystem er delt inn i 4 kvadranter. Ordet kvadrant kommer fra Latin quad, som betyr fire, eller fjerde, og derav quadrans som betyr en kvart. Det er vanlig å operere i den første kvadranten i et koordinatsystem. Første kvadrant er alltid opp og til høyre. Deretter går de mot klokken. Alle koordinater i første kvadrant er positive i forhold til origo.

Et punkt i rom er definert med 3 verdier. X, Y og Z. Men hvor går Z-aksen? Åpenbart perpendikulært til X og Y, men det kommer selvsagt an på referansebildet og hvor du ser det fra.

Et koordinatsystem kan enten være spesifisert ut fra et globalt referansepunkt, eller et lokalt referansepunkt. Et globalt referansepunkt vil si et koordinatsystem som er overordnet alle andre systemer i det. Et objekt i et globalt koordinatsystem kan ha en posisjon, rotasjon eller vinkling som gjør at dets lokale koordinatsystem er helt annerledes orientert enn det globale, men dets posisjon og rotasjon kan defineres innen det globale systemet det befinner seg i.

I et koordinatsystem med 3 akser er det 8 seksjoner. Disse kalles oktanter. Jeg trenger nok ikke forklare hvor det ordet kommer fra.

Hvis man ser nøye etter på bildet over, så ser vi at Z-aksen ligger ned og Y-aksen går vertikalt. Dette er for så vidt helt legitimt, men presenterer et unikt problem. Hvordan det koordinatsystemet vi bruker er orientert i det ultimate globale systemet alle koordinatsystemer er underlagt; virkeligheten.

Akkurat dette problemet med hvilken retning Z skal gå er noe som har plaget meg i lengre tid. Det virker som det er et problem som avhenger av hvordan du velger å se på det. Et problem som muligens har sine røtter i klasserommet når man først lærer om koordinatsystemer.
Se for deg at du har tegnet et 2-dimensjonalt koordinatsystem på et ark på et bord, liggende flatt på bordet som om du var eleven som skrev det i rutearkboken din; hvis du nå skulle legge til Z-aksen, hvilken retning ville den gått? Oppover, ikke sant? Opp fra bordflaten? Mot himmelen?
Eller gir det mer mening å se på tavlen til læreren, eller løfte opp boken, slik at Y-aksen nå peker oppover og Z-aksen nå kommer ut mot deg som på bildet over?

Jeg har alltid tenkt på det som det første eksempelet. At Z går oppover, gir rommet høyde, i motsetning til utover og gir rommet dybde.
Hvis du tenker deg rutenettet som jorden er delt opp i, altså lengdegrader og breddegrader, X og Y, så kan elevasjonen (altituden) , Z, kun gå én vei, opp.

---

I praksis

Sannheten er at begge måter å se på det er korrekt, men det er viktig å ha i tankene. Når vi beveger oss inn i praktisk bruk av koordinatsystemer, spesielt i maskiner, er det særdeles viktig å holde tunga rett i munnen og vite hvilken orientering maskinens koordinatsystem har, for å kunne korrekt forutsi maskinens bevegelser.

Heldigvis har vi flere tommelfingerregler for å hjelpe oss. Den første og viktigste er denne: Z er alltid spindelaksen!

Venstre: Vertikal fresemaskin. Høyre: Horisontal fresemaskin.

Regel nummer to er at alle bevegelser forekommer i forhold til spindelen.

For selve spindelaksen er Z+ alltid vekk fra arbeidsstykket.

På maskinen over er det bordet som beveger seg, mens spindelen står stille. Dette er ganske vanlig, men det er allikevel spindelen som er referansepunktet i maskinen. Alle bevegelser går i forhold til spindelen. På bildet over ser vi en ganske normal, universal vertikal fres. Pilene definerer aksenes positive og negative retninger i forhold til spindelen. Hvis vi skal bevege verktøyet til et positivt X-koordinat, vil bordet bevege seg mot venstre. Det samme gjelder Y. Hvis vi skal til f.eks. et negativt Y-koordinat, vil bordet bevege seg innover. Pilene på bildet over definerer retningene i forhold til spindelen. Hadde spindelen beveget seg hadde de vært “korrekt“, men siden den står stille og bordet beveger seg, blir det bevegelser omvendt for at bevegelsene skal bli korrekt i forhold til spindelen.

På maskiner hvor det ikke nødvendigvis er umiddelbart klart hvilken akse som er hvem og hvilken retning som er positiv, kan vi bruke en kjekk huskeregel:

---

Høyrehåndsregelen

Ved å holde hånden som på bildet over, og peke langfingeren langs spindelaksen, kan vi raskt og enkelt finne aksene i maskinen.

Denne regelen er så elementær i både matematikk, fysikk og mekanikk, at den til å med figurerer på Sveitsiske 200 Franc-sedler:

Kjent i Sveits som règle de la main droite på Fransk, eller Right Hand Rule på engelsk i resten av verden.

Kanskje mer kjent fra elektrisitetens verden, der den ofte brukes til å huske retningen på magnetiske felt og slikt, men den er like nyttig for oss som trenger den for å forme metall til vår vilje.

I dreiebenker er det litt annerledes siden det er arbeidsstykket som står i spindelen og verktøyet som står stille, men det er fremdeles spindelen som er primus motor når vi skal referere koordinatsystemet og aksene i en dreiebenk.

For at dette skal gi mening med håndregelen må vi faktisk benytte venstrehåndsregelen. Vi må også holde den opp som om vi peker pekefingeren mot taket.
Men det kommer selvsagt an på hva slags dreiebenk man jobber med, eller hvilken side av arbeidsstykket sleiden/verktøyet er montert.
Minus-retningen er alltid nærmere arbeidsstykket.

Dessverre er det slik at ikke alle maskinfabrikanter håndhever (get it?) disse “reglene“ og de stemmer ikke alltid. Men stort sett er de korrekt. Det er korrekt når de er korrekt.

---

Akseplan

Når to akser elsker hverandre veldig mye, former de et akseplan. Et plan er et to-dimensjonalt objekt og krever to retninger for å definere.

Siden det er 3 akser finnes det 3 primære akseplan.

Planene defineres med de to aksene som utgjør definisjonen av planet.
XY-planet er det horisontale planet, mens XZ og YZ planene er vertikale i hver sin retning.

---

Rotasjon

Akkurat som vi kan bevege oss langs aksene, kan vi i tredimensjonalt rom også bevege oss rundt dem. Hver akse representerer en mulighet for rotering rundt den, låst fast til den. Disse rotasjonsretningene kalles også akser; rotasjonsakser.

De er definert med bokstavene A, B og C, der de følger logisk alfabetisk rekkefølge og relasjon til X, Y og Z:

A er rotasjon rundt X.
B er rotasjon rundt Y.
C er rotasjon rundt Z.

Men hvilken rotasjonsretning er positiv?

Det må naturligvis defineres i relasjon til aksen den dreier om sin positive retning.

På samme måte som jorden, hvis du ser ned på den fra nordpolen dreier den mot klokka. Dette er korrekt for rotasjonsaksene også.

Ser man ned langs dem fra deres positive retning vil pluss-rotasjon være mot klokken.

Det finnes heldigvis en enklere måte å huske dette på, og igjen kommer vår gode venn høyrehåndsregelen til unnsetning igjen:

Hvis du former høyrehånden som om du skal signalisere tommel opp, og peker tommelen langs aksens positive retning, vil de resterende fingrenes pekeretning indikere positiv rotasjon.

---

Representasjon av aksene

I CAD-programmer og 3D-programmer heter den lille klumpen med 3 piler i hver sin retning en “triad”.
Den vises vanligvis i et hjørne på skjermen og brukes til orientering av skjermbildet. Tenk på den som et kompass.

Den oppstår også ofte på et punkt hvis du trykker på det, eller prøver å flytte noe.
Der brukes de hovedsakelig til å translatere (bevege lineært) og rotere - og i noen tilfeller - skalere.
Noen ganger vises de med akseplan, og tar man tak i de kan delen flyttes på planet.

Grunnen til at det kalles en “triad” er fordi den representerer et hjørne på en kube, og en triade er en av 3 (13) mulige symmetriakser i en kube:

Apropos ingenting: på engelsk heter en akse for axis, og flertallet er axes, uttalt med lang e, axees.

Du har sikkert sett triader før eller representasjoner av tre akser der aksene har hver sin farge. Du har sikkert også lagt merke til at de ofte varierer på hvilken farge som representerer hvilken akse?

Vel, det er én korrekt måte å farge aksene på, og det er igjen i logisk alfabetisk rekkefølge basert på de tre lys-additive primærfargene, Rød, Grønn og Blå.

X er Rød.
Y er Grønn.
Z er Blå.

Så sånn er det med den saken.

---

Euler-angles og Gimbal-lock

Rotasjon rundt primæraksene defineres i grader, og når disse 3 gradsystemene kombineres kalles de for “Euler-angles”, etter igjen, den legendariske Leonhard Euler.

En hvilken som helst vinkling og akse-rotasjon kan nåes innen 3 bevegelser.

Dette systemet visualiseres ofte med noe som kalles en “gimbal”. Tenk på det som en triade spesifikt for rotasjon.

Dersom du vrir en akse 90 grader slik at rotasjon rundt den nå koinsiderer med rotasjon rundt en annen akse, har vi oppnådd noe som kalles for “gimbal-lock“.

Med gimbal-lock mister man en rotasjonsakse og kan ikke lenger oppnå visse posisjoner/rotasjoner.

Men dette problemet angår ikke oss så veldig, men det er kjekt å ha i bakhodet. Det er et større problem i animasjon og 3D-grafikk, men nå har de noe som heter quaternions, som navnet tilsier bruker 4 verdier for å beskrive en vinkel og rotasjon, men det skal jeg ikke gå inn på fordi det er ikke relevant for dette innlegget og det er svart magi jeg ikke forstår meg på.

---

Magien av 5 akser

Dersom vi har en maskin med rotasjon rundt 2 akser, har vi totalt 5 bevegelige akser, og kan gjøre 5-akse maskinering. I slike maskiner er det vanlig å ha rotasjon rundt X og Z, altså A og C, men siden rotasjon rundt Y ikke er tilgjengelig eller relevant (man kan oppnå det ved å tilte A 90°), blir aksene ofte kalt A og B, spesielt i maskiner der bordet beveger seg og ikke spindelhodet, eller der rotasjonsaksene er lagt til senere eller på annet vis ikke integrale i maskinens design. Dette har flere årsaker, som å poengtere at aksene det dreier seg om er for bevegelse av arbeidsstykket eller bordet, og fordi C-aksen vanligvis definerer spindelaksen, og hvis man vrir A er ikke C lenger koaksial med Z.

Viktig notat: I en bordbasert 5-akse maskin er nullpunktet alltid der A-aksen og C-aksen (B), møtes.

Dessuten har ikke “C“ aksen noe formål i maskiner der man kan oppnå det samme resultatet med XY interpolering, men dersom man vrir A 90° slik at “C“ aksen nå er på linje med Y-aksen vil den ha et formål, og den fungere da teknisk sett som en B-akse.

En måte å tenke på det på er at med bordet i normalposisjon er B-asken gimbal-locked til C-aksen. Ved å vri A-aksen har vi nå tilgang til alle vinkler.

Under er to forskjellige eksempler på ulike 5-akse maskiner.

Bordbasert Maskin med A- og B-akse

Spindelbasert Maskin med A- og C-akse

Håper du nå er litt mer kjent med aksene vi forholder oss til på en daglig basis! Husk: Uansett hvilket koordinatsystem du befinner deg i, så lenge du er klar over det, med XYZ-ABC-RGB og høyrehåndsregelen så kan du aldri gå feil!

Tips om tapp

Det finnes to typer metallarbeidere; de som har knukket en gjengetapp, og løgnere.

Det er et uunngåelig faktum at gjengetapper knekker, spesielt jo mindre de blir. De er skjøre verktøy som må behandles med finesse, spesielt dersom man gjenger for hånd.

Det finnes riktignok andre måter å lage gjenger i hull på enn sponbrytende gjengetapper, som rulletapper eller å frese gjengene, men tradisjonelle tapper er mest utbrett. De er en ganske kost-effektiv og allsidig måte å lage gjenger på.

Gjengetappens anatomi og typer tapper:

Klassiske gjengetapper er gjerne laget av hurtigstål eller annet verktøystål og har vanligvis 3 eller 4 rette fluter. Gjengetapper finnes i mange størrelser fra M1 til M64 eller høyere og alt i mellom.

Gjengetapper er selvsentrerende, dvs. de retter seg selv inn til å være koaksiale med hullet. Dette gjør de ved hjelp av en slipt kon på tuppen av tappen:

Gjengetapper kan kjøpes i et sett, eller hver for seg, med hovedsakelig tre ulike utførelser;

Starttappen har en lengre og slakere kon enn de andre for å sørge for god sentrering og enklere starte inngrepet i materialet på en korrekt måte. Starttappen har ikke gjengenes fullstendige profil, så man kan ikke gjenge et hull ferdig med en starttapp. Når gjengene er startet går man over til en hovedtapp som har mer av gjengenes profil og en mer effektiv kon. Til slutt går man gjennom med bunntappen som har gjengenes fullstendige profil og veldig kort kon for å få så mye gjenger som mulig i et hull som ikke er gjennomgående, ofte kalt en “blindt hull“ (eng. blind hole).

De kan skilles fra hverandre med ringene på skaftet. Starttapper har én ring, hovetapper har to ringer, og bunntapper/sluttapper har ingen ringer.

Mer moderne tapper har gjerne en heliks, på samme måte som flutene på et bor, for å bidra til bedre sponevakuering.

Disse er som regel ment for CNC-maskiner eller andre hjelpemidler som gjenger i én operasjon som f.eks. en pneumatisk gjengearm:

Tradisjonelle tapper lager spon som ruller seg opp i spiraler, som til slutt blir for store for de rette flutene. Det er derfor nødvendig å vri tappen bakover en halv gang for å brekke sponet.

Det sies at dersom man gjenger for hånd, er den konvensjonelle lærdommen å gjenge én omdreining, for så å vri tilbake en halv gang, men fra min erfaring avhenger det veldig av både materiale og tappstørrelse. Men det er en grei tommelregel.

Men en kuttende egg blir utsatt for mest belastning i det den skal re-engasjere med materialet, og jo skarpere eggen er jo bedre er det å fortsette et lengere kutt enn å bryte sponet mer enn nødvendig. Spesielt i materialer som har harde overflater, eller arbeidsherder, som rustfritt, titan eller inconel. Derfor kan spiraltapper (de kalles spiraltapper, men de er egentlig helikstapper) være å foretrekke.

Moderne tapper kommer i ulike utførelser, hovedsakelig basert på materialet og bruken de er ment for. De er som regel fargekodet.

Tappen til høyre i bildet under er kun for gjennomgående, eller åpne, hull (through-hole), siden den presser sponet nedover, ikke oppover.

Fargen er noenlunde standardisert, men kan variere mellom fabrikanter. Under er en veiledende tabell. Konsulter fabrikanten.

Hvorfor tapper knekker:

Det er flere faktorer som kan føre til at en tapp knekker:

• Dårlig overflate

  • En ujevn overflate i hullet kan gi skjev belastning på tappen som kan gjøre at den knekker.

• Skjevt hull

  • Dersom boret har vandret og hullet ikke er rett vil dette gjøre at tappen møter mer og mer motstand etter hvert som den går nedover og vil til slutt knekke.

• Skjev start

  • Samme problem som over, men her har tappen entret hullet skeivt, og det er ikke hullet som er vinklet. Dette er antageligvis den mest vanlige kilden til knekkasje (Er det et ord? Det er det nå.) ved gjenging for hånd.

• For lite hull

  • Dersom hullet ikke er større enn minstediameteren til tappen vil det selvsagt skape veldig mye friksjon og problematikk for tappen.

• Arbeidsherdet materiale

  • Hvis man skal gjenge hull som er stanset eller friksjonsdrillet kan hullet ha en hard overfalte, selv etter boring, vil det skape et voldsomt trykk for tappen.

• Kont hull

  • Dersom hullet er f.eks. plasmaskåret, kan det ikke være bare hardere enn normalt, det er antageligvis litt kont som åpenbart vil øke lasten på tappen jo lenger ned den kommer.

• Eksentrisk start

  • Mye samme problem som skjev start, men her blir problemet ikke at lasten på tappen økes av at materialet økes, men at tappen bøyer seg etter hullet og vil knekke. Tapper av hurtigstål har ofte evne til å bøye seg nok dersom forskjellen er liten, men tapper av hardere materialer som karbid-tapper vil knekke.

• Ikke-sirkulært hull

  • Dersom hullet ikke er sirkulært vil det skape ujevn last på tappen som skape en rykkete bevegelse som kan bidra til meget forhøyet moment på tappen.

• Mangel på olje/fett

  • Det er alltid anbefalt å gjenge med enten gjengepasta eller skjæreolje/kjølevæske. Mangel på dette kan skape unødvendig mye friksjon og varmeutvikling.
    
    
    
    
    

Generelle tips:

Gjenger man for hånd kan det å bruke feil svingjern være en kilde til knekkasje. Det er et ord nå. Med feil svingjern så mener man et overdimensjonert svingjern. Svingjern har en rekkevidde for tapper de skal brukes på. Men bare fordi en tapp går inn i svingjernet betyr ikke at det er korrekt for jobben. Jo større svingjern man bruker, jo mer arm får man på tappen, som øker momentet og minsker den taktile tilbakemeldingen man får i hendene. Man må ha en viss “feeling” for tappen gjennom svingjernet. Bruker man for stort svingjern mister man denne, det blir for lett å vri om.

Dersom man skal gjenge et hardt materiale, spesielt med små tapper, kan det være smart å bruke et gjengebor en tidels millimeter større enn standarden spesifiserer. Dette gjør selvsagt at gjengetappen ikke møter like mye motstand siden den trenger å skjære vekk mindre materiale med flanken.

Når det kommer til små gjengetapper så liker jeg personlig å “spinne“ tappen litt. Ta veldig veldig lite om gangen, men gi tappen ørlite grann fart, ikke mye, men nok til at den skaver av en liten seksjon til, for så å reversere igjen og gjenta. Dette skulle man tro var litt motsatt av det som ville funket, men å skjære gjenger fungerer best, som alle andre sponbrytende bearbeidingsmetoder, med litt skjærehastighet. Å gjenge små hull med rent moment er ikke å anbefale.

Dersom man skal gjenge i dreiebenk er det lurt å bruke pinolen/bakdokken til å sikre en rett og koaksial entré. Koble fra spindelen og vri den for hånd mens du mater bakdokken i ulåst tilstand. Det holder å starte gjengene slik, resten kan gjøres ved å låse spindelen og gjenge for hånd med et svingjern.

Dersom man skal gjenge noe i fresen kan man enten bruke en teleskopisk gjengekjoks som flyter et stykke opp og ned og gir deg en tapp som er uavhengig av matehastigheten;

Eller man kan vri spindelen for hånd med en fastlåst tapp og løs spindel, eller bruke et senter og bruke det til å støtte en tapp. Tapper har vanligvis en 60° kon i den bakre enden, som riktignok er et resultat av produksjonsmetoden, men det er også ment som støtte og sentrering for gjenging:

Dersom man må gjenge på frihånd finnes det noen hjelpemidler, hovedsakelig en styreblokk (tap guide);

Så nå som vi vet hvordan man unngår å knekke tapper (litt mindre i hvert fall), hva gjør man dersom ulykken skulle oppstå? Hvilke bergingsmetoder finnes det?

Tappen har knukket!

Ikke bare har den knukket, det skjer jo selvfølgelig alltid på det siste hullet i en del.

Så hvordan fikser vi det?
Det kommer an på hvor tappen har knukket. Vanligvis knekker de i overgangen til hullet slik at det stikker opp en liten bit. Dersom nok stikker opp til å få et godt grep på den med en tang eller lignende kan dette gjøres, men den metoden jeg vil anbefale først er å forsøke å knakke ut tappen. Ved å ta en dor og slå forsiktig på en av eggene i en sirkulær bevegelse kan man slå den ut:

Dersom den er for dypt i hullet til å effektivt komme til med en dor er det en mulighet å bruke en ekstraktor:

Ett sted som selger dette er f.eks. Walton Tools.

Men sannsynligheten for å ha en slik er liten. Et alternativ er å bruke ståltråd. Den bør være så tykk som mulig, så tykk som flutene tillater.

Trykk den så dypt ned som mulig. Dersom man gjenger med en spiraltapp, slå den ned så den former seg til flutene.

Ta tak med en tang så nærme tappen du kommer, og press nedover mens du vrir bakover.

Mer ekstreme løsninger inkluderer å gløde ut tappen og bore den ut. Eller knuse den på en eller annen måte.

I enda mer ekstreme tilfeller kan det være nødvendig å bruke en elektrode/ gnisterodere ut tappen.

Disse mer ekstreme metodene kan ofte gjøre uopprettelig skade på det originale hullet, og dersom det er tillatelig, kan man gjenopprette det ved å bruke noe som heter Helicoil.

Dette er en teknikk som bruker en spesiell tapp for å sette inn en innsats som vanligvis er rundt én standard gjengestørrelse opp, men med samme stigning. De krever spesielle tapper og verktøy for å installere, men vil returnere hullet til dets opprinnelige gjenger. Også noen ganger brukt med hensikt i produksjon, spesielt i bløte materialer som har skruer som skal skrus inn og ut flere ganger siden det gir et mer slitesterkt grensesnitt mellom bolt og del.

Til slutt, la oss raskt se på alternative metoder:

Rulletapp:

En tulletapp har ofte ingen fluter, siden den ikke kutter vekk materiale, den bare flytter på det. Rulletapper former gjengene mye på samme måte som en serrat, ved å presse materialet til riktig form.

Rullede gjenger er sterkere enn kuttede gjenger, siden kornstrukturen i materialet opprettholdes, men forflyttes, istedenfor å bryte krystallstrukturen med en sponskjærende tapp, men de er mer applikasjon-spesifikke og kan stort sett ikke brukes for hånd, og starthullet må være større enn ved bruk av konvensjonell tapp.

Men den absolutt beste måten å unngå å knekke en tapp på er å ikke bruke en!

Så dersom du kan, så vurder gjengefresing!

Sinus, cosinus og tangens

Det må være et universalt faktum at vi mennesker hater å bli påtvunget lærdom vi ikke ser nytten av. Dersom noe ikke interesserer oss er det verdens største motbakke å lære seg det. I samme grad tror jeg ikke det finnes det menneske som ikke på ett eller annet tidspunkt har yttret “når kommer jeg til å få bruk for dette?“ .

Det er interessant hvordan hva som definerer den grunnleggende skolegangen til stadighet øker i kompleksitet og omfang. En grunnskoleutdannelse er mer omfattende i dag enn den var for 100 år siden. Og med god grunn, siden den sosiale og teknologiske forståelsen som kreves for å fungere i dagens samfunn er langt større enn den gang. Vi vet mer nå enn vi gjorde da, og derfor tar det lenger tid å få folk “up to speed“ på dagens verdensbilde. At dagens skolesystem er totalt uegnet for den oppgaven er et annet kapittel, der dens primære oppgave fortsetter å være en utdatert doktrine for å masseprodusere akkurat-passe-kompetente fabrikkarbeidere, i denne digitale tidsalder og automasjonsrevolusjon, er en synd og en skam, men det er nå en gang slik det er inntil videre.

Når skal man sette grensen for hva som kreves av kunnskap hos et menneske som skal ha en grunnleggende forståelse for verden, og et godt grunnlag for videre spisskompetanse? Det er et godt spørsmål. Hva er grunnivået? Burde vi begynne å spesialisere oss tidligere?

Ingen kan vite alt om alt, men alle kan vite det meste om noe, og alle burde vite litt om det meste.

Vi har riktignok begynt å bevege oss i riktig retning, men det er fremdeles en lang vei å gå.

Det viktigste skolen kan lære en elev er kunsten å tilegne seg kunnskap selv.

Hvor relatert paragrafen over er til det jeg egentlig vil skrive om er jo en diskusjon i seg selv, men jeg ble inspirert til å skrive om dette siden det er noe jeg selv ikke forsto ordentlig før lenge etter min skolegang var avsluttet, og det skremte meg. Det er vel ikke alt for langt å strekke seg å si at alle har eller har hatt en aversjon for matematikk i en eller annen grad. Som det opprinnelige poenget mitt ga, “når kommer jeg til å få bruk for dette?” er et helt legitimt spørsmål, og spør du meg så er det ikke nødvendig at en trenger å lære å løse komplekse ligninger på videregående dersom en ikke skal ta høyere utdanning innen fagfelt som har behov for å kunne det, som fysiker eller matematiker. Når det er sagt så må jeg jo til skolesystemets forsvar si at det er jo heller ikke sånn; det finnes grader av matematikk basert på hvilket utdanningsløp man tar, så noe av det jeg etterspør eksisterer allerede, og mye av mine meninger er nok smurt med et tykt lag av subjektive oppfatninger som bunner i skoletretthet fra første gang jeg gikk på videregående. Men hvorfor ble jeg lei av skolen i utgangspunktet er poenget mitt? Visste jeg ikke hva jeg gikk til? Var jeg bare ung og dum? Eller var det et dypere problem med systemet?

Uansett hva årsaken måtte være, så har jeg nå endt opp som hovedsakelig maskinist og metallarbeider, som ifølge dagens skolesystem behøver noe som heter praktisk matte. Hvilket går ut på mer praktisk orientert matematikk som geometri og prosentregning og denslags, og ikke så mye fokus på algebra og sannsynlighet og slikt.

Hvilket er greit nok, et steg i riktig retning som sagt, og grunnlaget for dette innlegget er egentlig ikke frustrasjon over innholdet i utdanningen, men læringen av det. Jeg kan selvsagt ikke snakke for alle, og lærere har min ytterste respekt, (spesielt på videregående nivå der de må forholde seg til et veldig slitsomt stadie av et menneskes utvikling, folk burde egentlig ikke begynt på videregående i en alder av 16 spør du meg), men jeg spurte alltid om hvorfor ting er som de er, hva er grunnen til at det og det blir det, hva er årsaken til at det er slik, hvem fant det opp, hvorfor, hva brukes det til, etc. Hvilket jeg svært sjeldent følte jeg fikk et tilfredsstillende svar på. Og nå som jeg endelig har fått svar på det jeg den gang lurte på gir alt så mye mer mening, og min forståelse for subjektet er mye, mye større.

Men det er det som plager meg. Jeg fikk aldri forklart hvorfor noe er som det er. Jeg ble fortalt at slik er det og det må du pugge og kunne. Hvorfor jeg måtte pugge og kunne er igjen et spørsmål som kan rettes til mitt første paragraf, men lære det måtte jeg. Og å lære noe uten å forstå hvordan det fungerer eller hvorfor man må lære det er ikke bare ødeleggende for selvtilliten til eleven, det er også utmattende.

Så i lys av mine egne erfaringer med skolesystemet og nye forståelse for et felt som er av ypperste viktighet for folk i mitt yrke, her er mitt forsøk på å forklare trigonometri:

Av alle matematiske felt må geometri og trigonometri være de aller mest interessante for meg. Kunnskap man faktisk ofte har bruk for, og kan benytte praktisk på mange områder. Ordentlig forståelse av trigonometri får en til å se helt annerledes på verden.

Ordet TRIGONOMETRI kommer, som så mye annet, fra gresk, og betyr trekantmåling. Det er alt trigonometri handler om. Måling og beregning av trekanter.

Det handler i all hovedsak om å finne vinkler når vi vet lengder på sider, og vice versa. To dimensjoner som ikke nødvendigvis er direkte intuitivt sammenkoblet.
Så når man virkelig forstår trigonometri og forholdene det omhandler finner man så mye mer glede i å bruke det.

I all hovedsak er det de esoteriske matematiske funksjonene ved navn sinus, cosinus og tangens jeg vil snakke om. Det er mye annet som også er viktig å kunne innen trigonometri, mest grunnleggende Pytagoras læresetning, men også bl.a. sinus-setningen og cosinus-setningen (law of sine/cosine) for utregning av ting i ikke-rettvinklede trekanter, men hvis jeg skulle prøvd å forklare det kunne jeg blitt her en stund. Men disse litt mer avanserte formlene bunner i å gjøre om andre trekanter til rettvinklede trekanter for å regne dem ut, så det er vel ikke feil å si at all trigonometri stammer fra den rettvinklede trekanten. Priset være den.

Så la oss holde oss til rettvinklede trekanter. Litt kvikk oppfriskning;

En rettvinklet trekant er en hvilken som helst trekant der én av vinklene er 90°:

Firkanten i høyre hjørne betyr at denne vinkelen er 90°. Vinklene i en trekant blir alltid til sammen 180°. Dette gjelder alle trekanter. Det kan bevises på ulike måter, men hvis du forestiller deg at den nederste streken ble kortere og kortere, og den vinkelen som er 30° kom nærmere og nærmere den høyre siden av trekanten, ville den gradvis også nærme seg 90°, helt til du ender opp med 2 streker som går rett opp og ned, og ligger oppå hverandre som begge er “90°“. 2x90=180. Tada.

Den lengste siden er Hypotenusen. Hypotenus kommer fra latin og gresk og betyr “strukket under“, hypo- (under) og ten- (strekke, som i eng. tensile strength).
Spør meg ikke hva det liksom er meningen at den skulle være strukket under, men jeg tenker at det er ment mer abstrakt enn bokstavelig, i den forstand at den er strukket mellom to punkter under forholdene eller kunnskap om hva disse strekene er, eller noe i den duren.

De to andre sidene som sammen utgjør 90°-hjørnet er Katetene. De kan navngis ytterligere, basert på hvor vinkelen vi snakker om ligger. I tilfellet over vil den nederste linjen hete “hosliggende katet” (eng. adjacent side) og den høyre linjen vil hete “motstående katet“ (eng. opposite side).

Navngivningen er nokså selvforklart, den motstående katet er den som vinkelen “peker på“, så hadde vinkelen vi snakket om vært den oppe til høyre ville navnene vært motsatt. Dette er viktig senere.

Hva er egentlig en vinkel og hvorfor er 90° rett?

Hvorfor bruker vi 360°? Vel, det er mange måter å uttrykke vinkel på, det er mer eller mindre tilfeldig at vi bruker grader mest. En sirkel er delt opp i 360 grader, men det er ikke noe iboende sammenheng mellom sirkler og tallet 360. Vi kunne like gjerne brukt 1000 eller 548, men sistnevnte høres ikke spesielt enkelt ut å regne med. Grunnen til at vi bruker 360 er av samme grunn som minutter og timer er delt inn i 60, det er flere faktorer for disse tallene enn mer runde tall i 10-tallsystemet.

360 har 24 faktorer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360

400 for eksempel har bare 15: 1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,200,400

Da det metriske system var under utvikling i Frankrike på 1700-tallet var det et forsøk på å flytte over til å regne med 400 grader, slik at en rett vinkel ble 100°, men det var ikke noen suksess, p.g.a. poenget over. Men dette er faktisk i noe bruk i dag og heter en gradian.

Kanskje vi burde delt inn en sirkel i 5040? Det tallet har hele 60 faktorer!

Men det finnes en enda bedre, mer matematisk sammenhengende måte å uttrykke vinkler på: Radianer

Hvorfor tar jeg opp dette? For å virkelig forstå sinus og kompani må vi vite om radianer.

Radianer er en måte å uttrykke vinkler på med radien til en sirkel. Størrelsen på denne sirkelen er likegyldig, siden det er er forhold vil det alltid stemme. Omkretsen av en sirkel er som kjent 2πr, så 180 grader av en sirkel langs sirkelen blir π ganger radien. Hvis vi kunne uttrykt vinkelen som en del av denne omkretsen så kan vi si at vinkelen er en andel av π ganget med radien. Hvis vi pakker radien rundt sirkelen langs omkretsen slik:

Da får vi 1 radian. 1 radian tilsvarer 57.2957795°, hvilket ikke er så brukervennlig i dagligtale.

90° blir rundt 1.57 rad. 3 rad blir nesten 180°. 180 grader er 3,1415 rad, altså πrad. 360° blir altså 2πrad.

Så hvis radien er 1 blir en hel omkrets 6,28…..etc. Derav 2πr. Eller πd om du vil. Eller τr om du føler deg ekstra dristig.

Her er en fin animasjon som illustrerer det godt, hentet fra Wikipedia:

Radianer er altså en renere, direkte sammenhengende, matematisk uttrykkelse av vinkel. Når du regner ut grader på kalkulatoren så regner den med radianer og omgjør det til grader som vi er mer vant til og lettere for oss å lese. Dersom du setter kalkulatoren til å vise rad så ser du svaret i rad, hvilket har forvirret meg ved flere anledninger der jeg ikke så at den var stilt til rad og ikke deg (degree). De fleste formler som omhandler vinkler og slikt på akademisk nivå bruker radianer.

Omgjøringen av radianer til grader er:

Siden π rad tilsvarer 180° så deler vi opp π i 180 (som blir ca. 0.017 ) og ganger med hvor mange grader vi hadde i vinkelen vår, så får vi hvor mye av π det tilsvarer.

Likedan, når vi gjør om fra rad til deg, så må vi dele opp 180 i π deler (som blir ca. 57,3) og så gange med hvor mange rad vi hadde.

Dersom franskmennene fikk det som de ville og gradianer (400° i en sirkel) hadde blitt standard, ville formelen sett helt lik ut, bare med 200 istedenfor 180.

Så hva har dette med sinus, cosinus og tangens å gjøre?

Vel, kun som bistand til å forstå hvordan de funker. Sinus, cosinus og tangens er funksjoner, mer bestemt trigonometriske funksjoner, mye på samme måte som de mer alminnelige aritmetiske funksjonene som pluss, minus, gange og dele, men de er en del mer komplekse.
Hvordan sinus og cosinus faktisk kalkuleres “bak teppet“, er avansert. Men det er ingen standard måte og regne det ut på, ulike algoritmer eksisterer for å approksimere resultatet av funksjonen. Noe som heter Taylor-serien kan brukes for å beregne en kurve som ligner så mye på en sinuskurve som mulig, mer om det senere.

En sinuskurve er spesiell fordi den beskriver en perfekt periodisk bevegelse. En periodisk bevegelse er som man kan tenke seg noe som gjentar seg om igjen og om igjen i et likt mønster over tid:

Eksempelet over er ikke en perfekt sinuskurve (eng. sine wave), men en sinusoid. Som vi lærte i innlegget om stål, så er noe som er -oid noe som ligner på noe, men ikke er det eksakt. Men de kalles gjerne sinuskurver uansett. Men hvorfor ser de sånn ut? Handlet ikke dette om trekanter? Joda. Men kurven er en graf av sinusfunksjonen, så for å forstå funksjonen må vi forstå grafen, og for å forstå grafen må vi se på forholdene i trekanten.

Hva er disse forholdene og hva betyr de?

Nå kommer vi egentlig til selve hjertet av temaet. Forholdene mellom sidene i en rettvinklet trekant. La oss gå tilbake til den første trekanten vår:

I eksempelet over er θ (theta) 30°. Sinus til 30° er 0,5. Hva betyr det? Det er lettere å visualisere hvis vi putter trekanten inn i noe som kalles enhetssirkelen, en sirkel med radie 1, med senter i origo.

Til høyre er et eksempel på en klassisk representasjon av enhetssirkelen.

Den viser 3 vinkler innen hver kvadrant, samt kardinal-retningene, i radianer i form av deler av pi.

Tallene i parentes viser koordinatene til det punktet uttrykket i fraksjoner av radien.

Vi skal forholde oss til en litt enklere utgave:

Alle strekene som går ut av senter i kardinal-retningene tilsvarer radien, akkurat som hypotenusen i trekanten, altså linje C.
Lengden av linje A og linje B er avhengig av vinkelen θ.

Men hva BETYR dette tallet?

Det betyr at ved en gitt vinkel er den gjeldende katet like lang som hypotenusen ganget med sinus/cosinus til vinkelen.

Sinus gir lengden til den vertikale streken i trekanten basert på vinkelen. Når vinkelen er 30° ser vi at den er like lang som halvparten av hypotenusen, altså radien, altså er den 0,5.

Vi kan bevise det visuelt at sin30 = 0,5:

Sinus til 45° er 0,707… Sinus til 60° er 0,866… Og så videre. Jo nærmere vinkelen nærmer seg 90° jo nærmere vil sinus til vinkelen bli 1.

Så hvis vi plotter inn flere punkter ser vi at det begynner å danne en sinuskurve:

View fullsize

Klikk på bildet for å se en større versjon

De røde horisontale strekene til høyre i visualiseringen over er lengden på kurven fra (1,0) opp til det punktet langs omkretsen av sirkelen. På den måten blir en sirkel om til en rar bølge.

Resten av kurven er bare ekstrapolert ut av flere tenkte punkter langs resten av sirkelen. Vi ser at i neste kvadrant vil Y fortsette å være positiv, men X går mot null og vil bli negativ, derav den nedadgående kurven, og når Y blir negativ i de to neste kvadrantene vil sinuskurven dukke under på samme måte. Men den totale avstanden fra start langs sirkelens omkrets fortsetter å øke, derfor fortsetter bølgen stadig til høyre.

Her er en bedre visualisering, også hentet fra Wikipedia:

Over ser vi en representasjon av en perfekt sinuskurve som følger enhetssirkelen.
Den blå streken er et punkt som beveger seg langs omkretsen. Hvis vi trekker en strek fra origo (senter av sirkelen) til dette punktet får vi en strek med lengde r, altså 1 i dette tilfellet. Ettersom den blå streken beveger seg langs omkretsen øker vinkelen til denne streken i forhold til x-aksen. Hvis vi så trekker en strek fra det blå punktet ned til x-aksen, så vil dette representere “høyden“ til punktet langs y-aksen til enhver tid. Hvis vi følger den gule vertikale streken fra den blå streken og til den røde i grafen, så ser vi hvordan denne “høyden” representeres av den røde streken ettersom det blå punktet traverserer omkretsen. Dette er sinuskurven.

Her ser vi tydelig forholdet til radianer også; en halv π blir rett opp, altså 90°, sinus til 90 er altså 1, og hvis vi prøver det på kalkulatoren ser vi at det stemmer.

Hvis vi plotter det inn i et koordinatsystem vil vi se at amplituden (Y) til kurven som følger enhetssirkelen alltid går mellom 1 og -1, og fullfører en syklus når X=2π

De trigonometriske funksjonene er også ikke-lineære, som vil si at du vil få det samme svaret selv om du øker tallet, så lenge vinkelen som dannes er den samme i forhold til aksene.

Sinus fortsetter å være 0,5 for alle vinkler som skaper den samme lengden på den motstående katet:

f(x)=sinx

Som vi ser på grafen så kan forholdet bare være et tall mellom -1 og 1. Noe over eller under dette vil gi en feilmelding ved bruk av sin eller cos.

På samme måte vil SIN 390, altså en rotasjon + 30°, også bli 0,5.

Dette forklarer sinus, men hva er cosinus?

Hvis sinus er “høyden“ så er cosinus “bredden“. Cosinus definerer lengden på streken som danner “grunnlinjen” i trekanten vår. Altså den hosliggende katet. I motsetning til sinus som definerer den motstående katet. For å si det på en annen måte; koordinatene til punktet som dannes der hypotenusen treffer den tenkte sirkelen kan representeres i X og Y med cosθ og sinθ respektivt, der θ er vinkelen vår.

Vi kan se på bildet under hvordan forholdene mellom sidene i trekantene og vinkelen spiller sammen, og hvordan man kan tenke seg at de relaterer til en sirkel.

Cosinus er 90° “offset” sinus og danner en kurve som starter høyt men ellers er uadskillelig fra en sinuskurve, men den er en kvart syklus asynkron.

Hvil øynene dine på atter en fantastisk visualisering fra Wikipedia:

OK, det er funksjoner, så hva betyr de og hvordan brukes de?

Etymologien til ordet “Sinus“ er lang og knotete, men det kommer fra latin og betyr “favn“ “havn“ eller “bukt“, som er en mistolkning via arabisk og har sitt opphav fra sanskrit “jiva“ som betyr “korde“, hvilket i matematikk er et linjestykke som går mellom to punkter på en kurve (BX).

Cosinus er satt sammen av to deler; rot-ordet “sinus” med prefixen “co“, som betyr “sammen“ eller “motpart“.
Som vi skjønner av dette så er det motsatsen til sinus på en måte, de er alltid i samspill.

Tangens kommer fra Latin fra ordet “tangere“ som betyr “å ta på” eller “berøre“, som i det engelske ordet “tangible“.
Tangens er forholdet mellom de to katetene. Dette vil gi mer mening senere, men du har sikkert hørt ordet “tangensielt“, som i relasjon til sirkler vil si en strek som går ut fra omkretsen på en slik måte at den alltid er 90° i forhold til radien (venstre), eller mer matematisk korrekt er vel å si at det er en strek som går gjennom to uendelig nære punkter på en kurve (høyre):

BX er en korde (eng: chord)

Hvis et objekt blir slynget ut fra en sirkulær bane vil det alltid skje tangensielt.

Tangensen til en graf kan beskrive kurvens vekstrate i det punktet.

Sinus, cosinus og tangens representerer hver for seg forholdet mellom 2 sider i en trekant.
Hvilke 2 sider som forholdet beregnes fra bestemmer hvilken funksjon som er relevant.

Vi har hovedsakelig 9 trigonometriske funksjoner;

Forkortelsene sin, cos og tan er åpenbare og gir deg forholdet til en side ved en gitt vinkel.
Arcsin, arccos og arctan er forkortelser for “arcus sinus“, etc. Arcus betyr “kurve” eller “bue“ og gir deg vinkelen ved et gitt forhold.
Csc, sec og cot er forkortelse for cosekant, sekant og cotangent, respektivt og er det omvendte av sin, cos og tan (csc x = 1/sin x). Disse brukes ganske lite og kan ignoreres.

Arcsin, etc. forkortes ofte til asin, acos og atan, spesielt i programmering.

Matematisk skrives de inverse som oftest:

-1 i dette tilfellet betyr ikke at de er opphøyd i minus 1, men at de er de inverse funksjonene.

Hva er forskjellene på disse og hvorfor er de viktige?

• De normale funksjonene lar oss kalkulere sider når vi vet vinkler

• De inverse funksjonene lar oss kalkulere vinkler når vi vet sider

Men for å bruke disse funksjonene trenger vi å vite forholdene mellom sidene.

Og hvordan vet vi hvilken funksjon vi skal bruke når?

Vel, hvis vi tenker oss at trekanten vi jobber med står i enhetssirkelen som i eksemplene over, så gir det fort mening.

Men på engelsk har de en fin huskeregel som heter “SOHCAHTOA“.

Denne regla kan deles opp i tre; SOH, CAH og TOA. Den benyttes for å huske hvilken trigonometrisk funksjon som skal brukes avhenging av hva vi vet og hva vi skal finne.

Den første bokstaven i hver del beskriver hvilken funksjon som skal brukes (ord som følger er på engelsk): Sine SOH, Cosine CAH og Tangent TOA.
De andre bokstavene representerer Opposite, Adjacent og Hypotenuse.
Den første bokstaven etter funksjonen, f.eks O i SOA representerer det som skal stå over brøkstreken, og A’en naturlig nok det som skal stå under.

Ved å dele den ene siden på andre får vi et tall som vi kan mate inn i den respektive funksjonen.

Som vi husker fra grafen så kan vi kun bruke et tall mellom 1 og -1, og tallene vi bruker er som regel 0,ettellerannet, fordi sinus til 1 er 90°. Derfor må vi dele det minste tallet på det største, der det største av de to naturligvis alltid er hypotenusen, slik at vi får et tall som er mindre enn 1.

OBS! Denne huskeregelen er i sin normale form kun for å finne vinkler når vi kjenner hypotenusen og en katet. Det vil si, den benytter de inverse funksjonene.

Et eksempel:

Vi skal finne vinkelen X, vi vet hypotenusen og den hosliggende katet.
Basert på dette vet vi at vi må benytte cosinus-funksjonen.

Som vi vet fra huskeregelen, og for å få et forhold under 1, må vi dele kateten på hypotenusen.

Alstå får vi:

Dersom vi behøver å finne en side når vi vet en annen side og vinkelen må vi benytte litt algebra for å gjøre om på formelen.

Vi snur formelen litt, slik at vi kan finne forholdet med funksjonen og gange det med hypotenusen for å få den ukjente.

Slik at det blir:

Ergo får vi:

Hvis du bruker den normale sinusfunksjonen på en vinkel gir den deg et forhold. Bruker du den inverse på et forhold får du en vinkel.

Tangens-funksjonen er i en liten klasse for seg selv.

Som vi ser av huskeregelen er det den eneste av funksjonene som bruker begge katetene i kalkulasjonen.

Hva gjør vi dersom vi kjenner begge katetene og vinkelen, men ikke hypotenusen? Kan vi bruke tangens til å finne den?

Nei, dessverre kan vi ikke det (men sinus og cosinus kan det), ikke direkte hvertfall. Da må vi bruke Pythagoras. Tangens finner ikke lengden av hypotenusen, den finner lengden av streken som går 90° fra hypotenusen på sirkelen og ned til X-aksen. Slik:

Tangens til 60° blir 1,732… og vil da si at lengden av den røde streken er 1,732 ganger hypotenusen.

Som nevnt så er huskeregelen i sin normale form kun for å finne vinkler. Og det kan vi finne ved bruk av tangens.

Ved å dele den motstående på den hosliggende katet får vi et forhold som beskriver vinkelen. Bildet over er et godt eksempel.
Når vinkelen er 45° er sin og cos like, 0,7071… og noe delt på seg selv blir 1. Altså er tangens-streken like lang som hypotenusen.

Når vi nærmer oss 90 vil tangensen bli veldig stor, og for hver desimal du legger på vinkelen vil lengden øke logaritmisk, dvs, tan89,9≈572, tan89,99≈5729, tan 89,999≈57295, et cetera…

tan90 er uendelig og gir en feilmelding hvis du prøver å kalkulere det.

Så for å besvare spørsmålet jeg startet hele kapittelet med; hvorfor skal jeg kunne dette og når kommer jeg til å få bruk for det?

Først å fremst vil det å forstå trigonometri gi deg et nytt syn på verden rundt deg. Ikke det at jeg går rundt å ser sånn Matrix-kode hvor enn jeg går, men jeg legger merke til ymse rariteter som plutselig gir mening fordi jeg ser årsaken til dets design. Som f.eks. at gjengedybde er 0,866 ganger stigningen fordi gjenger er 60 grader og sinus til 60 er 0,866.

Mer praktiske eksempler:

Man kan bruke denne kunnskapen til f.eks å ta et halvt hundredels kutt på dreiebenken ved å stille toppsleiden i 30° i forhold til Z aksen, slik at en hundredels bevegelse på toppsleiden utgjør 0,005mm mating innover, fordi sin30=0,5.

Et annet eksempel er bruk av noe som på engelsk kalles en “sine bar“. Jeg er ikke sikker på hva det kalles på norsk, men en ekvivalent innretning er jo sinusbordet.

“Sinebar”

Sinusbord

Poenget med en “sinebar” - eller sinusbord for den delen - er at du kan oppnå ekstremt eksakte vinkler ved bruk av trigonometri.

Den består av to presist slipte sylindre som er festet til en presisjons-slipt blokk. Avstanden mellom sentere på sylinderne er kjent, alltid et rundt tall som f.eks. 100mm. Streken som går mellom senterne på disse utgjør hypotenusen i trekanten vår og er parallell med overflaten på blokken.

Så ved å bygge oppunder den ene sylinderen kan man øke vinkelen på en presis måte, vanligvis med passbiter.
I eksempelet over, dersom vi vil oppnå en vinkel på 15° må vi finne ut hvor høyt vi skal heve den ene siden.
Basert på lengden mellom aksene til sylinderne, må vi finne forholdet til 15° og gange det med denne lengden.

Sinus til 15 er 0,25881…etc., så dersom vi ganger dette med 100 får vi 25,881 mm. Så hvis vi bygger oppunder den ene sylinderen med 25,881mm vil vinkelen bli nøyaktig 15°.

Bak teppet:

Jeg nevnte at funksjonene er selvstendige funksjoner som gjør jobben sin på en litt skjult måte. Det er én ting å forstå hvordan man bruker dem, men det gir ikke noen dypere forståelse av hvordan selve funksjonene fungerer.

Når det er sagt er funksjonene kompliserte, ikke noe jeg kan gjøre rede for hvordan fungerer i inngående detalj, men det jeg vil poengtere er at de forsøker å gjengi sinuskurven fra en perfekt sirkel, altså approksimere verdiene som oppstår “naturlig“ mellom vinkler og en perfekt sirkel. Vi har ikke egentlig noen perfekt måte å gjengi hvordan en sinuskurve og en sirkel interagerer, men vi har funnet ulike måter å beregne ekstremt nøyaktige tilnærminger. Og det er godt nok. Taylor-serien er en av disse metodene jeg nevnte tidligere:

Under er en graf av Taylor-serien til høyre, og formlene for approksimeringen av sinus og cosinus til venstre. De forskjellige fargene representerer hvor nøye, eller hvor lang vi lager formelen så å si. Jo lenger vi lager formelen jo bedre approksimering av sinuskurven får vi.

Under er en animasjon som viser hvordan vi får en mer korrekt tilnærming jo flere ledd vi legger til i formelen. N = antall ledd.

Jeg går litt vel langt her nå, og snakker om ting som egentlig ikke er relevant for å faktisk bruke funksjonene, men det er fremdeles viktig for å forstå hva de egentlig er. Det er ikke nødvendig å vite dette for å forstå relasjonene og bruken av de trigonometriske funksjonene. Jeg forstår det ikke helt selv, men poenget jeg prøver å få fram er at sinus og cosinus er ikke magiske tall eller forhold, men funksjoner som påvirker tallet du putter inn.

Når du plopper det inn i kalkulatoren bruker den vanligvis noe som kalles for CORDIC-algoritmen. Kalkulatoren jobber som sagt i radianer, men forstår når du skriver ting i grader og viser deg svaret i grader dersom den er satt til det.

Det eneste jeg egentlig har kommet fram til er at jo mer jeg lærer, jo mer forstår jeg at jeg ikke vet.

Men i lys av det jeg nå har skrevet om, og med tanke på mine første paragrafer om skolen og læremetoder, så anbefaler jeg alle å lese Paul Lockhart sitt essay “A Mathematician’s Lament“ .

ISO 8601

Dette innlegget handler ikke om maskinering eller metallarbeid, men det handler om standarder, og jeg elsker standarder.

Men standarder er akkurat like nyttige som bruken av dem gjør dem. Hvis ingen bruker dem, så er det ikke noe poeng å ha dem. Så jeg ønsker å spre det gode ord, og informere om noe som gjør livet enklere og bedre.

Har du noen gang blitt forvirret av det amerikanske datoformatet? Har du sett en amerikaner skrive 5/7/1970 og trodd at han mente den femte juli?
Vel, han mente den syvende mai, fordi de skriver måneden først. De påstår at det gir mer mening å skrive måneden først siden det “organiserer“ tankegangen bedre, og man kan jo til en viss grad forstå det siden kalendere stort sett er oppdelt i månedene. Men ville det da ikke gitt mer mening å begynt med året?
Men de mener at det er overflødig, siden alle vet hvilket år det er snakk om, det er så lang tid mellom hver gang året skifter at det ikke er nødvendig å begynne med det. Det ville tatt for lang tid i dagligtale. Og det er jeg forsåvidt enig i, men hvordan man sier datoer i dagligtale behøver ikke ha en innvirkning på hvordan de skrives…
Det henger selvsagt igjen (som alt annet i statene) fra gammelt av da det var vanlig å skrive datoen ut slik; “May 7th” Så da den digitale alderen kom ble det bare akseptert at man skriver datoen først, i tallform. Men hva mer kan man forvente av verdens rikeste U-land?

Så du sitter kanskje å hoverer for deg selv og tenker at du er bedre siden du skriver det i mer logisk, størrelsesordnet rekkefølge, med dag/måned/år?
Vel, slapp helt av. Du skriver det også feil.

ISO 8601

I 1988 fant ISO ut at de hadde fått nok av denne typen misforståelser, og satte seg ned og banket i bordet med ISO 8601.
ISO 8601 er en dato-tid standard som definerer den absolutte korrekte måten å skrive dato og tid på:

Dato og tid er ordnet etter største til minste tidsintervall, fra venstre til høyre.

I ISO 8601 skrives året først, deretter måneden og så dagen. T brukes for å skille dato og tid, og tiden skrives med time, minutt, sekund.

Til slutt må man definere tidssonen, i UTC (Coordinated Universal Time) defineres dette med bokstaven Z, som står for “Zero” eller (uoffisielt) “Zulu Time”, etter den militære tidsstandarden. Dette er det samme som GMT og går gjennom null-meridianen.

Dersom det er behov for å definere en annen tidssone gjøres dette med et pluss (+) eller minus-tegn (-) og deretter timer fra UTC.

For oss i Norge blir det seende slik ut:

Det skal ikke forekomme mellomrom i formatet, og skilletegn mellom dato skal kun være bindestrek (-), og skilletegn mellom tid skal kun være kolon (:).

Formater

Standarden kommer i to varianter; Basic Format og Extended Format. Over ser vi extended format.

Basic format (under) fjerner alle skilletegn.+/- brukes fortsatt for å definere tidssone.

Forskjellen mellom disse er kun bruken av skilletegn og eksisterer for å gjøre det enklere for datamaskiner og mennesker å lese det, respektivt. I vanlig tekst som ikke er ment for digital avlesning skal det brukes extended format.

Disse må ikke blandes, skriv enten alt i basic eller extended.

Tidssoner

Tidssonen skrives som ±HH:MM i extended og ±HHMM i basic, eller ±HH. Sistnevnte kan brukes i begge etter ønske. Standarden bruker 24-timers klokken.

Tidssonen er allerede tilført tiden, (som er oppgitt i lokal tid), så 18:00 er det samme som 15:00-03:00 (15:00 - (-03:00) = 18:00).

Millisekunder

Dersom det trengs enda finere tidsdefinering, som med millisekunder, kan dette legges til etter sekundene med et komma (,); 23:59:59,999.

Flere desimaler kan legges på ved behov.

Forenklinger og sløyfing

Dato og tid kan selvsagt skrives alene så lenge standarden følges. Dersom det ønskes å skrive datoen uten året, kan det sløyfes, men må erstattes av en bindestrek slik: --03-22

Datoer og tid kan også sløyfes fra minst til størst; 2020-03 er gyldig, og beskriver en tid innen mars i 2020.

0 foran et datotall eller tid kan ikke sløyfes.

År og uker

Standarden er basert på den Gregorianske kalender.

År 0 eksisterer ikke i standarden, 0000 i ISO 8601 er år 1 f.K. og 0001 er år 1 e.K. -0001 er år 2 f.K. Dette er for å gjøre det slik at et århundre starter på 1 og går fra 0001 til 0100.

Dersom du er en av de som må bruke uketall kan det skrives etter en W etter året og et uketall (ww) fra 01-53. YYYY-Www eller YYYYWww. Dersom du ønsker å spesifisere en dag innen en uke kan det gjøres med D og et tall (d) fra 1-7; YYYY-WwwDd eller YYYYWwwDd. Dag 1 er alltid mandag.

Tidsperioder og varigheter

Dersom det ønskes å beskrive en mengde tid, og ikke et spesifikt tidspunkt, kan dette gjøres med bokstaven P. Formatet er som følger:

PnYnMnDTnHnMnS

De store bokstavene i dette formatet skal ikke byttes ut, tallet som representerer tiden skal erstatte “n”.
For eksempel vil en tidsperiode på 3 dager og 12 timer og 30 minutter kunne skrives slik: P0Y0M3DT12H30M0S
Leses slik: Periode på 0 år, 0 måneder, 3 dager, 12 timer og 30 minutter.
Verdier som er 0 kan sløyfes, men P kan ikke sløyfes, slik at det blir: P3DT12H30M

For å forhindre forvirring her er P1M én måned, ikke ett minutt. Ett minutt skrives slik: PT1M.

For en enda mer utfyllende forklaring av standarden så anbefaler jeg å lese den engelske Wikipedia-siden om det her.

Hvorfor bruke ISO 8601?

Å forveksle og mistolke dato og tid er ikke bare frustrerende på et personlig nivå, men kan være kostbart på et bedriftsnivå. Alle avtaler, kontrakter, bookinger o.l. har potensiale til å bli feiltolket.

Standarden er entydig og kan ikke forveksles eller feiltolkes.

Den er lett å lese, og egner seg ypperlig til bruk i dagens digitale verden, hvor å skrive år først o.s.v. gjør at alle filer og mappestrukturer på en datamaskin organiserer seg i kronologisk rekkefølge automatisk.

Standarden er allerede adoptert av nesten alle land i verden, men brukes ikke mye i det daglige. Og det er egentlig ingen god grunn til det. Jeg har hørt argumenter som at det er tungvindt å skrive, men unødvendige tidsgrupper kan sløyfes fra begge ender, den eneste forskjellen er at du må bruke bindestrek og lære betydningen av noen bokstaver. For ikke å snakke om følelsen av å være et bedre menneske. Et teknisk korrekt menneske.

Av én eller annen grunn er det ikke så utbredt å bruke det enda. Selv ikke Windows har en innebygget mulighet for å representere dato og tid i ISO 8601.
Så jeg prøver å gjøre min del for å spre adopsjonen av den korrekte måten å skrive tid og dato på. Jeg håper du vil hjelpe meg. Takk.

ISO 8601. Lær det. Bruk det.

Et addendum til gjenger

Jeg har i lengre tid forsøkt å vri hodet mitt rundt gjenger og alle dets iboende finurligheter. Noen anstrengelser har vært til mer nytte enn andre, men heliske profiler rundt sylindere fortsetter å gi meg mareritt. Hvordan kan noe så enkelt være så komplekst?

Jeg har skrevet om gjenger før, et generelt overblikk over hva det er, hvilke standarder som benyttes og hvordan de brukes. Men det har ikke nevneverdig fordypet den grunnleggende og intuitive forståelsen av hva det er som gjør gjenger i stand til å utføre sin oppgave som de gjør.

Med fare for å fornedre leserens intellekt må jeg igjen begynne fra starten:

Gjenger er en fellesbetegnelse på ulike profiler som dreier om en akse i en heliks, altså en lineær stigning, på den utvendige eller innvendige flate av sylindere.

Et innvendig gjenget hull og en utvendig gjenget stang av samme nominell diameter og stigning, er laget slik at de skal passe inn i hverandre ved å rotere slik at profilen på stangen havner inni det rommet som er skapt for den i den tilsvarende like profilen i hullet.

Når jeg sier “lik profil“ så mener jeg egentlig “motsatt profil”, den mottakende profil (hullet) må ha plass til profilen til stangen, standard 60° gjenger bare ser like ut fordi profilen er en likesidet trekant.

Dersom vi hadde brukt et mer ekstremt eksempel, en gjengeprofil som ikke er “symmetrisk“, ville man lettere sett forskjellen:

Her ser vi tydelig hvordan en asymmetrisk profil ville artet seg i en ekstern gjenge. “Toppene” er dobbelt så tykke some “dalene”, og det er i utgangspunktet ikke noe i veien med denne gjengen.

Disse gjengene er egentlig ikke “asymmetriske“, men gjengehøyden er ikke i nærheten av å være lik stigningen, som ellers er vanlig for de fleste normale gjengeprofiler. Her vil gjengehøyden være 1/3 av stigningen, ganske uortodoks, men det er bare et eksempel.

Men vi ser at den interne motparten til disse gjengene må nødvendigvis være “omvendt” for å ha plass til de brede toppene, så i “mutteren” blir “toppene“ veldig tynne, bare 1/3 av stigningen, i motsetning til de utvendige toppene som blir 2/3 av stigningen. Hvorav denne asymmetrien jeg prøver å poengtere.

Problemet her er at skjærverktøyet til utvendige og innvendige gjenger blir veldig forskjellig. Men nok om det, la oss fokusere tilbake på normale gjenger:

Når vi skal lage gjenger, så må vi som sagt påføre en profil rundt en stang eller hull. Denne påføringen kan kun gjøres på én måte, og det er å kutte den.
(Det finnes selvsagt unntak som additive prosesser, men i pragmatismens navn så ignorerer vi det.)

Hvordan de kuttes trenger vi ikke å gå inn på, det har jeg som sagt skrevet om før, her.

Men vi kan ikke legge på profilen slik, så kuttes må de, og det betyr at vi må starte med mer materiale enn vi trenger, det er vanskelig å lage spon av ingenting:

Altså må vi gjøre slik:

Stordiameteren blir navnet på gjengen; en M20 gjengestang krever et startmateriale på 20mm.

Men det samme gjelder ikke hull:

Dersom vi hadde startet med et 20mm hull og dreiet innvendige gjenger i det ville vi endt opp med noe fullstendig ubrukelig:

Stangen ville bare sklidd inn og ut fordi stordiameteren til stangen er nå mindre enn minstediameteren til hullet. Vi har i praksis skapt en klaringspasning med et unyttig mønster på.

Altså må vi gjøre slik:

Vi må som sagt starte med mer materiale enn vi skal ende opp med, og det betyr at hullet må bli mindre enn 20mm.

Men hvor mye mindre?

Man skulle kunne tenke seg at vi da må starte med minstediameteren til de utvendige gjengene, den diameteren som blir avstanden mellom toppene i hullet, men dette blir heller ikke riktig:

Hvis vi hadde tatt en M20 gjenge, som har en stigning på 2,5, ville minstediameteren blitt 15mm (ikke egentlig, men la oss bruke runde tall for enkelhets skyld).

Vi kan se på bildet til høyre at det ikke ville gått, etter at gjengene var dreid ville de vært altfor trange og krasje.

Hvorfor skjer dette?

Vel, det er et resultat av gjengens heliske natur.

Siden profilen består av både et protruderende segment og et intruderende segment; vil den alternere mellom å “stikke inn” og “stikke ut” hver halve omdreining.

Altså er “tykkelsen“ til skruen, sett fra et aksialt tverrsnitt, alltid være minstediameteren + en gjengehøyde (som teknisk sett mer eller mindre tilsvarer en stigning). Eller stordiameteren - en gjengehøyde, avhengig av hvordan du velger å se på det.

Dette tverrsnittet blir altså da en sirkel som “slanger” seg langsetter rundt aksen av skruen i en heliks-formet bane.

Hadde profilen vært påført i en ikke-helisk form, altså at toppene og bunnene havnet på lik linje på hver side av skruen ville det vært korrekt å lage hullet med minstediameteren, men da… vel… da ville det jo ikke gått an å skru den…

Så derfor må vi lage hullet i stordiameteren - en stigning, så for en M20x2,5 innvendig gjenge blir gjengeboret 17,5mm.

Du har kanskje lagt merke til at gjengebor noen ganger oppgis litt større enn dette, for eksempel er gjengeboret til M10x1,25 8,8 og ikke 8,75?

Vel, det kommer jo først å fremst av at 8,75 ikke er et lett bor å oppdrive, men også fordi det er bedre å lage hullet litt større enn litt mindre enn regnestykket vårt tilsier. Dette er hovedsakelig fordi denne forskjellen mellom nominell hulldiameter og gjengebor diameter blir til toppklaringen for de innvendige gjengene.

Dersom det brukes fullprofilskjær er ikke dette kritisk, det blir tatt hånd om av skjæret, men ved bruk av HSS stål eller gjengetapp er det en fordel at hullet er større enn den teoretiske verdien.

Det må jo nemlig være litt slark for at de to delen faktisk skal være mulig å skrus sammen. Hvor mye slark som er lov å ha er definert i noe jeg ikke før har nevnt når det kommer til gjenger; toleranseklasser.

Nå har jeg riktignok skrevet om toleranser før, her, men ikke når det kommer til gjenger.

Det er stort sett mye av det samme, men gjengene er jo ikke en glatt sylinder, så det kan variere hvor på bolten eller hullet denne pasningen måles.

Når det kommer til gjenger, så er ikke stordiameteren eller lillediameteren egentlig det viktigste, men “profildybden”. Siden gjengene består av skrå flanker som møter hverandre, er det her det blir krasj. Dersom profilen ikke er kuttet til riktig dybde blir jo ikke avstanden mellom to flanker på delediameteren (eller midtdiameteren som det også heter) korrekt.

Så hvor dypt man slår gjengene vil påvirke hvor slarkete de blir. Åpenbart nok, men toleranseklassene definerer tillat slark.

I US Customary (imperial) så bruker de en relativt enkel toleransesetting:

A og B, der A refererer til eksterne gjenger og B refererer til interne gjenger.

• 1A / 1B er en løs pasning ment for dagligdagse applikasjoner

• 2A / 2B er en litt trangere klaringspasning ment for mer fin-industrielt bruk

• 3A / 3B er en trang pasning med ganske fine toleranser.

Men når det kommer tilbake til vårt eget bedre og mer logiske system, så bruker metrisk det samme systemet som for pasninger ellers, men som sagt, hvor dette måles kan variere. Dette er oppgitt i ISO 965/1.

Som vi kjenner så brukes stor bokstav for hull, altså innvendige gjenger, og liten bokstav for stag, altså utvendige gjenger. Toleransegrad 6 er ment for generelt bruk, og mindre tall betyr en trangere toleranse.

Som jeg nevnte tidligere så er det midtdiameteren som er viktigst, og dette er en imaginær linje som alltid ligger på midten av flanken, d.v.s. midt mellom topp og bunn av den teoretiske profilen (stigningen/2). For å måle denne nøyaktig kreves det vanligvis gjenge-mikrometer, som er et kapittel for seg selv.

Metriske gjengetoleranser kan oppgis på 2 måter, med én eller to toleransegrader.

Den første graden refererer til midtdiameteren, den andre til stordiameteren. Dersom toleransene er like, sløyfes den ene og begge representeres med en toleranse. Tallene her er ikke de samme som for vanlige stag og hull, se standarden for tall.