Sinus, cosinus og tangens

Det må være et universalt faktum at vi mennesker hater å bli påtvunget lærdom vi ikke ser nytten av. Dersom noe ikke interesserer oss er det verdens største motbakke å lære seg det. I samme grad tror jeg ikke det finnes det menneske som ikke på ett eller annet tidspunkt har yttret “når kommer jeg til å få bruk for dette?“ .

Det er interessant hvordan hva som definerer den grunnleggende skolegangen til stadighet øker i kompleksitet og omfang. En grunnskoleutdannelse er mer omfattende i dag enn den var for 100 år siden. Og med god grunn, siden den sosiale og teknologiske forståelsen som kreves for å fungere i dagens samfunn er langt større enn den gang. Vi vet mer nå enn vi gjorde da, og derfor tar det lenger tid å få folk “up to speed“ på dagens verdensbilde. At dagens skolesystem er totalt uegnet for den oppgaven er et annet kapittel, der dens primære oppgave fortsetter å være en utdatert doktrine for å masseprodusere akkurat-passe-kompetente fabrikkarbeidere, i denne digitale tidsalder og automasjonsrevolusjon, er en synd og en skam, men det er nå en gang slik det er inntil videre.

Når skal man sette grensen for hva som kreves av kunnskap hos et menneske som skal ha en grunnleggende forståelse for verden, og et godt grunnlag for videre spisskompetanse? Det er et godt spørsmål. Hva er grunnivået? Burde vi begynne å spesialisere oss tidligere?

Ingen kan vite alt om alt, men alle kan vite det meste om noe, og alle burde vite litt om det meste.

Vi har riktignok begynt å bevege oss i riktig retning, men det er fremdeles en lang vei å gå.

Det viktigste skolen kan lære en elev er kunsten å tilegne seg kunnskap selv.

Hvor relatert paragrafen over er til det jeg egentlig vil skrive om er jo en diskusjon i seg selv, men jeg ble inspirert til å skrive om dette siden det er noe jeg selv ikke forsto ordentlig før lenge etter min skolegang var avsluttet, og det skremte meg. Det er vel ikke alt for langt å strekke seg å si at alle har eller har hatt en aversjon for matematikk i en eller annen grad. Som det opprinnelige poenget mitt ga, “når kommer jeg til å få bruk for dette?” er et helt legitimt spørsmål, og spør du meg så er det ikke nødvendig at en trenger å lære å løse komplekse ligninger på videregående dersom en ikke skal ta høyere utdanning innen fagfelt som har behov for å kunne det, som fysiker eller matematiker. Når det er sagt så må jeg jo til skolesystemets forsvar si at det er jo heller ikke sånn; det finnes grader av matematikk basert på hvilket utdanningsløp man tar, så noe av det jeg etterspør eksisterer allerede, og mye av mine meninger er nok smurt med et tykt lag av subjektive oppfatninger som bunner i skoletretthet fra første gang jeg gikk på videregående. Men hvorfor ble jeg lei av skolen i utgangspunktet er poenget mitt? Visste jeg ikke hva jeg gikk til? Var jeg bare ung og dum? Eller var det et dypere problem med systemet?

Uansett hva årsaken måtte være, så har jeg nå endt opp som hovedsakelig maskinist og metallarbeider, som ifølge dagens skolesystem behøver noe som heter praktisk matte. Hvilket går ut på mer praktisk orientert matematikk som geometri og prosentregning og denslags, og ikke så mye fokus på algebra og sannsynlighet og slikt.

Hvilket er greit nok, et steg i riktig retning som sagt, og grunnlaget for dette innlegget er egentlig ikke frustrasjon over innholdet i utdanningen, men læringen av det. Jeg kan selvsagt ikke snakke for alle, og lærere har min ytterste respekt, (spesielt på videregående nivå der de må forholde seg til et veldig slitsomt stadie av et menneskes utvikling, folk burde egentlig ikke begynt på videregående i en alder av 16 spør du meg), men jeg spurte alltid om hvorfor ting er som de er, hva er grunnen til at det og det blir det, hva er årsaken til at det er slik, hvem fant det opp, hvorfor, hva brukes det til, etc. Hvilket jeg svært sjeldent følte jeg fikk et tilfredsstillende svar på. Og nå som jeg endelig har fått svar på det jeg den gang lurte på gir alt så mye mer mening, og min forståelse for subjektet er mye, mye større.

Men det er det som plager meg. Jeg fikk aldri forklart hvorfor noe er som det er. Jeg ble fortalt at slik er det og det må du pugge og kunne. Hvorfor jeg måtte pugge og kunne er igjen et spørsmål som kan rettes til mitt første paragraf, men lære det måtte jeg. Og å lære noe uten å forstå hvordan det fungerer eller hvorfor man må lære det er ikke bare ødeleggende for selvtilliten til eleven, det er også utmattende.

Så i lys av mine egne erfaringer med skolesystemet og nye forståelse for et felt som er av ypperste viktighet for folk i mitt yrke, her er mitt forsøk på å forklare trigonometri:

Av alle matematiske felt må geometri og trigonometri være de aller mest interessante for meg. Kunnskap man faktisk ofte har bruk for, og kan benytte praktisk på mange områder. Ordentlig forståelse av trigonometri får en til å se helt annerledes på verden.

Ordet TRIGONOMETRI kommer, som så mye annet, fra gresk, og betyr trekantmåling. Det er alt trigonometri handler om. Måling og beregning av trekanter.

Det handler i all hovedsak om å finne vinkler når vi vet lengder på sider, og vice versa. To dimensjoner som ikke nødvendigvis er direkte intuitivt sammenkoblet.
Så når man virkelig forstår trigonometri og forholdene det omhandler finner man så mye mer glede i å bruke det.

I all hovedsak er det de esoteriske matematiske funksjonene ved navn sinus, cosinus og tangens jeg vil snakke om. Det er mye annet som også er viktig å kunne innen trigonometri, mest grunnleggende Pytagoras læresetning, men også bl.a. sinus-setningen og cosinus-setningen (law of sine/cosine) for utregning av ting i ikke-rettvinklede trekanter, men hvis jeg skulle prøvd å forklare det kunne jeg blitt her en stund. Men disse litt mer avanserte formlene bunner i å gjøre om andre trekanter til rettvinklede trekanter for å regne dem ut, så det er vel ikke feil å si at all trigonometri stammer fra den rettvinklede trekanten. Priset være den.

Så la oss holde oss til rettvinklede trekanter. Litt kvikk oppfriskning;

En rettvinklet trekant er en hvilken som helst trekant der én av vinklene er 90°:

Firkanten i høyre hjørne betyr at denne vinkelen er 90°. Vinklene i en trekant blir alltid til sammen 180°. Dette gjelder alle trekanter. Det kan bevises på ulike måter, men hvis du forestiller deg at den nederste streken ble kortere og kortere, og den vinkelen som er 30° kom nærmere og nærmere den høyre siden av trekanten, ville den gradvis også nærme seg 90°, helt til du ender opp med 2 streker som går rett opp og ned, og ligger oppå hverandre som begge er “90°“. 2x90=180. Tada.

Den lengste siden er Hypotenusen. Hypotenus kommer fra latin og gresk og betyr “strukket under“, hypo- (under) og ten- (strekke, som i eng. tensile strength).
Spør meg ikke hva det liksom er meningen at den skulle være strukket under, men jeg tenker at det er ment mer abstrakt enn bokstavelig, i den forstand at den er strukket mellom to punkter under forholdene eller kunnskap om hva disse strekene er, eller noe i den duren.

De to andre sidene som sammen utgjør 90°-hjørnet er Katetene. De kan navngis ytterligere, basert på hvor vinkelen vi snakker om ligger. I tilfellet over vil den nederste linjen hete “hosliggende katet” (eng. adjacent side) og den høyre linjen vil hete “motstående katet“ (eng. opposite side).

Navngivningen er nokså selvforklart, den motstående katet er den som vinkelen “peker på“, så hadde vinkelen vi snakket om vært den oppe til høyre ville navnene vært motsatt. Dette er viktig senere.

Hva er egentlig en vinkel og hvorfor er 90° rett?

Hvorfor bruker vi 360°? Vel, det er mange måter å uttrykke vinkel på, det er mer eller mindre tilfeldig at vi bruker grader mest. En sirkel er delt opp i 360 grader, men det er ikke noe iboende sammenheng mellom sirkler og tallet 360. Vi kunne like gjerne brukt 1000 eller 548, men sistnevnte høres ikke spesielt enkelt ut å regne med. Grunnen til at vi bruker 360 er av samme grunn som minutter og timer er delt inn i 60, det er flere faktorer for disse tallene enn mer runde tall i 10-tallsystemet.

360 har 24 faktorer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360

400 for eksempel har bare 15: 1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,200,400

Da det metriske system var under utvikling i Frankrike på 1700-tallet var det et forsøk på å flytte over til å regne med 400 grader, slik at en rett vinkel ble 100°, men det var ikke noen suksess, p.g.a. poenget over. Men dette er faktisk i noe bruk i dag og heter en gradian.

Kanskje vi burde delt inn en sirkel i 5040? Det tallet har hele 60 faktorer!

Men det finnes en enda bedre, mer matematisk sammenhengende måte å uttrykke vinkler på: Radianer

Hvorfor tar jeg opp dette? For å virkelig forstå sinus og kompani må vi vite om radianer.

Radianer er en måte å uttrykke vinkler på med radien til en sirkel. Størrelsen på denne sirkelen er likegyldig, siden det er er forhold vil det alltid stemme. Omkretsen av en sirkel er som kjent 2πr, så 180 grader av en sirkel langs sirkelen blir π ganger radien. Hvis vi kunne uttrykt vinkelen som en del av denne omkretsen så kan vi si at vinkelen er en andel av π ganget med radien. Hvis vi pakker radien rundt sirkelen langs omkretsen slik:

Da får vi 1 radian. 1 radian tilsvarer 57.2957795°, hvilket ikke er så brukervennlig i dagligtale.

90° blir rundt 1.57 rad. 3 rad blir nesten 180°. 180 grader er 3,1415 rad, altså πrad. 360° blir altså 2πrad.

Så hvis radien er 1 blir en hel omkrets 6,28…..etc. Derav 2πr. Eller πd om du vil. Eller τr om du føler deg ekstra dristig.

Her er en fin animasjon som illustrerer det godt, hentet fra Wikipedia:

Radianer er altså en renere, direkte sammenhengende, matematisk uttrykkelse av vinkel. Når du regner ut grader på kalkulatoren så regner den med radianer og omgjør det til grader som vi er mer vant til og lettere for oss å lese. Dersom du setter kalkulatoren til å vise rad så ser du svaret i rad, hvilket har forvirret meg ved flere anledninger der jeg ikke så at den var stilt til rad og ikke deg (degree). De fleste formler som omhandler vinkler og slikt på akademisk nivå bruker radianer.

Omgjøringen av radianer til grader er:

Siden π rad tilsvarer 180° så deler vi opp π i 180 (som blir ca. 0.017 ) og ganger med hvor mange grader vi hadde i vinkelen vår, så får vi hvor mye av π det tilsvarer.

Likedan, når vi gjør om fra rad til deg, så må vi dele opp 180 i π deler (som blir ca. 57,3) og så gange med hvor mange rad vi hadde.

Dersom franskmennene fikk det som de ville og gradianer (400° i en sirkel) hadde blitt standard, ville formelen sett helt lik ut, bare med 200 istedenfor 180.

Så hva har dette med sinus, cosinus og tangens å gjøre?

Vel, kun som bistand til å forstå hvordan de funker. Sinus, cosinus og tangens er funksjoner, mer bestemt trigonometriske funksjoner, mye på samme måte som de mer alminnelige aritmetiske funksjonene som pluss, minus, gange og dele, men de er en del mer komplekse.
Hvordan sinus og cosinus faktisk kalkuleres “bak teppet“, er avansert. Men det er ingen standard måte og regne det ut på, ulike algoritmer eksisterer for å approksimere resultatet av funksjonen. Noe som heter Taylor-serien kan brukes for å beregne en kurve som ligner så mye på en sinuskurve som mulig, mer om det senere.

En sinuskurve er spesiell fordi den beskriver en perfekt periodisk bevegelse. En periodisk bevegelse er som man kan tenke seg noe som gjentar seg om igjen og om igjen i et likt mønster over tid:

Eksempelet over er ikke en perfekt sinuskurve (eng. sine wave), men en sinusoid. Som vi lærte i innlegget om stål, så er noe som er -oid noe som ligner på noe, men ikke er det eksakt. Men de kalles gjerne sinuskurver uansett. Men hvorfor ser de sånn ut? Handlet ikke dette om trekanter? Joda. Men kurven er en graf av sinusfunksjonen, så for å forstå funksjonen må vi forstå grafen, og for å forstå grafen må vi se på forholdene i trekanten.

Hva er disse forholdene og hva betyr de?

Nå kommer vi egentlig til selve hjertet av temaet. Forholdene mellom sidene i en rettvinklet trekant. La oss gå tilbake til den første trekanten vår:

I eksempelet over er θ (theta) 30°. Sinus til 30° er 0,5. Hva betyr det? Det er lettere å visualisere hvis vi putter trekanten inn i noe som kalles enhetssirkelen, en sirkel med radie 1, med senter i origo.

Til høyre er et eksempel på en klassisk representasjon av enhetssirkelen.

Den viser 3 vinkler innen hver kvadrant, samt kardinal-retningene, i radianer i form av deler av pi.

Tallene i parentes viser koordinatene til det punktet uttrykket i fraksjoner av radien.

Vi skal forholde oss til en litt enklere utgave:

Alle strekene som går ut av senter i kardinal-retningene tilsvarer radien, akkurat som hypotenusen i trekanten, altså linje C.
Lengden av linje A og linje B er avhengig av vinkelen θ.

Men hva BETYR dette tallet?

Det betyr at ved en gitt vinkel er den gjeldende katet like lang som hypotenusen ganget med sinus/cosinus til vinkelen.

Sinus gir lengden til den vertikale streken i trekanten basert på vinkelen. Når vinkelen er 30° ser vi at den er like lang som halvparten av hypotenusen, altså radien, altså er den 0,5.

Vi kan bevise det visuelt at sin30 = 0,5:

Sinus til 45° er 0,707… Sinus til 60° er 0,866… Og så videre. Jo nærmere vinkelen nærmer seg 90° jo nærmere vil sinus til vinkelen bli 1.

Så hvis vi plotter inn flere punkter ser vi at det begynner å danne en sinuskurve:

View fullsize

Klikk på bildet for å se en større versjon

De røde horisontale strekene til høyre i visualiseringen over er lengden på kurven fra (1,0) opp til det punktet langs omkretsen av sirkelen. På den måten blir en sirkel om til en rar bølge.

Resten av kurven er bare ekstrapolert ut av flere tenkte punkter langs resten av sirkelen. Vi ser at i neste kvadrant vil Y fortsette å være positiv, men X går mot null og vil bli negativ, derav den nedadgående kurven, og når Y blir negativ i de to neste kvadrantene vil sinuskurven dukke under på samme måte. Men den totale avstanden fra start langs sirkelens omkrets fortsetter å øke, derfor fortsetter bølgen stadig til høyre.

Her er en bedre visualisering, også hentet fra Wikipedia:

Over ser vi en representasjon av en perfekt sinuskurve som følger enhetssirkelen.
Den blå streken er et punkt som beveger seg langs omkretsen. Hvis vi trekker en strek fra origo (senter av sirkelen) til dette punktet får vi en strek med lengde r, altså 1 i dette tilfellet. Ettersom den blå streken beveger seg langs omkretsen øker vinkelen til denne streken i forhold til x-aksen. Hvis vi så trekker en strek fra det blå punktet ned til x-aksen, så vil dette representere “høyden“ til punktet langs y-aksen til enhver tid. Hvis vi følger den gule vertikale streken fra den blå streken og til den røde i grafen, så ser vi hvordan denne “høyden” representeres av den røde streken ettersom det blå punktet traverserer omkretsen. Dette er sinuskurven.

Her ser vi tydelig forholdet til radianer også; en halv π blir rett opp, altså 90°, sinus til 90 er altså 1, og hvis vi prøver det på kalkulatoren ser vi at det stemmer.

Hvis vi plotter det inn i et koordinatsystem vil vi se at amplituden (Y) til kurven som følger enhetssirkelen alltid går mellom 1 og -1, og fullfører en syklus når X=2π

De trigonometriske funksjonene er også ikke-lineære, som vil si at du vil få det samme svaret selv om du øker tallet, så lenge vinkelen som dannes er den samme i forhold til aksene.

Sinus fortsetter å være 0,5 for alle vinkler som skaper den samme lengden på den motstående katet:

f(x)=sinx

Som vi ser på grafen så kan forholdet bare være et tall mellom -1 og 1. Noe over eller under dette vil gi en feilmelding ved bruk av sin eller cos.

På samme måte vil SIN 390, altså en rotasjon + 30°, også bli 0,5.

Dette forklarer sinus, men hva er cosinus?

Hvis sinus er “høyden“ så er cosinus “bredden“. Cosinus definerer lengden på streken som danner “grunnlinjen” i trekanten vår. Altså den hosliggende katet. I motsetning til sinus som definerer den motstående katet. For å si det på en annen måte; koordinatene til punktet som dannes der hypotenusen treffer den tenkte sirkelen kan representeres i X og Y med cosθ og sinθ respektivt, der θ er vinkelen vår.

Vi kan se på bildet under hvordan forholdene mellom sidene i trekantene og vinkelen spiller sammen, og hvordan man kan tenke seg at de relaterer til en sirkel.

Cosinus er 90° “offset” sinus og danner en kurve som starter høyt men ellers er uadskillelig fra en sinuskurve, men den er en kvart syklus asynkron.

Hvil øynene dine på atter en fantastisk visualisering fra Wikipedia:

OK, det er funksjoner, så hva betyr de og hvordan brukes de?

Etymologien til ordet “Sinus“ er lang og knotete, men det kommer fra latin og betyr “favn“ “havn“ eller “bukt“, som er en mistolkning via arabisk og har sitt opphav fra sanskrit “jiva“ som betyr “korde“, hvilket i matematikk er et linjestykke som går mellom to punkter på en kurve (BX).

Cosinus er satt sammen av to deler; rot-ordet “sinus” med prefixen “co“, som betyr “sammen“ eller “motpart“.
Som vi skjønner av dette så er det motsatsen til sinus på en måte, de er alltid i samspill.

Tangens kommer fra Latin fra ordet “tangere“ som betyr “å ta på” eller “berøre“, som i det engelske ordet “tangible“.
Tangens er forholdet mellom de to katetene. Dette vil gi mer mening senere, men du har sikkert hørt ordet “tangensielt“, som i relasjon til sirkler vil si en strek som går ut fra omkretsen på en slik måte at den alltid er 90° i forhold til radien (venstre), eller mer matematisk korrekt er vel å si at det er en strek som går gjennom to uendelig nære punkter på en kurve (høyre):

BX er en korde (eng: chord)

Hvis et objekt blir slynget ut fra en sirkulær bane vil det alltid skje tangensielt.

Tangensen til en graf kan beskrive kurvens vekstrate i det punktet.

Sinus, cosinus og tangens representerer hver for seg forholdet mellom 2 sider i en trekant.
Hvilke 2 sider som forholdet beregnes fra bestemmer hvilken funksjon som er relevant.

Vi har hovedsakelig 9 trigonometriske funksjoner;

Forkortelsene sin, cos og tan er åpenbare og gir deg forholdet til en side ved en gitt vinkel.
Arcsin, arccos og arctan er forkortelser for “arcus sinus“, etc. Arcus betyr “kurve” eller “bue“ og gir deg vinkelen ved et gitt forhold.
Csc, sec og cot er forkortelse for cosekant, sekant og cotangent, respektivt og er det omvendte av sin, cos og tan (csc x = 1/sin x). Disse brukes ganske lite og kan ignoreres.

Arcsin, etc. forkortes ofte til asin, acos og atan, spesielt i programmering.

Matematisk skrives de inverse som oftest:

-1 i dette tilfellet betyr ikke at de er opphøyd i minus 1, men at de er de inverse funksjonene.

Hva er forskjellene på disse og hvorfor er de viktige?

• De normale funksjonene lar oss kalkulere sider når vi vet vinkler

• De inverse funksjonene lar oss kalkulere vinkler når vi vet sider

Men for å bruke disse funksjonene trenger vi å vite forholdene mellom sidene.

Og hvordan vet vi hvilken funksjon vi skal bruke når?

Vel, hvis vi tenker oss at trekanten vi jobber med står i enhetssirkelen som i eksemplene over, så gir det fort mening.

Men på engelsk har de en fin huskeregel som heter “SOHCAHTOA“.

Denne regla kan deles opp i tre; SOH, CAH og TOA. Den benyttes for å huske hvilken trigonometrisk funksjon som skal brukes avhenging av hva vi vet og hva vi skal finne.

Den første bokstaven i hver del beskriver hvilken funksjon som skal brukes (ord som følger er på engelsk): Sine SOH, Cosine CAH og Tangent TOA.
De andre bokstavene representerer Opposite, Adjacent og Hypotenuse.
Den første bokstaven etter funksjonen, f.eks O i SOA representerer det som skal stå over brøkstreken, og A’en naturlig nok det som skal stå under.

Ved å dele den ene siden på andre får vi et tall som vi kan mate inn i den respektive funksjonen.

Som vi husker fra grafen så kan vi kun bruke et tall mellom 1 og -1, og tallene vi bruker er som regel 0,ettellerannet, fordi sinus til 1 er 90°. Derfor må vi dele det minste tallet på det største, der det største av de to naturligvis alltid er hypotenusen, slik at vi får et tall som er mindre enn 1.

OBS! Denne huskeregelen er i sin normale form kun for å finne vinkler når vi kjenner hypotenusen og en katet. Det vil si, den benytter de inverse funksjonene.

Et eksempel:

Vi skal finne vinkelen X, vi vet hypotenusen og den hosliggende katet.
Basert på dette vet vi at vi må benytte cosinus-funksjonen.

Som vi vet fra huskeregelen, og for å få et forhold under 1, må vi dele kateten på hypotenusen.

Alstå får vi:

Dersom vi behøver å finne en side når vi vet en annen side og vinkelen må vi benytte litt algebra for å gjøre om på formelen.

Vi snur formelen litt, slik at vi kan finne forholdet med funksjonen og gange det med hypotenusen for å få den ukjente.

Slik at det blir:

Ergo får vi:

Hvis du bruker den normale sinusfunksjonen på en vinkel gir den deg et forhold. Bruker du den inverse på et forhold får du en vinkel.

Tangens-funksjonen er i en liten klasse for seg selv.

Som vi ser av huskeregelen er det den eneste av funksjonene som bruker begge katetene i kalkulasjonen.

Hva gjør vi dersom vi kjenner begge katetene og vinkelen, men ikke hypotenusen? Kan vi bruke tangens til å finne den?

Nei, dessverre kan vi ikke det (men sinus og cosinus kan det), ikke direkte hvertfall. Da må vi bruke Pythagoras. Tangens finner ikke lengden av hypotenusen, den finner lengden av streken som går 90° fra hypotenusen på sirkelen og ned til X-aksen. Slik:

Tangens til 60° blir 1,732… og vil da si at lengden av den røde streken er 1,732 ganger hypotenusen.

Som nevnt så er huskeregelen i sin normale form kun for å finne vinkler. Og det kan vi finne ved bruk av tangens.

Ved å dele den motstående på den hosliggende katet får vi et forhold som beskriver vinkelen. Bildet over er et godt eksempel.
Når vinkelen er 45° er sin og cos like, 0,7071… og noe delt på seg selv blir 1. Altså er tangens-streken like lang som hypotenusen.

Når vi nærmer oss 90 vil tangensen bli veldig stor, og for hver desimal du legger på vinkelen vil lengden øke logaritmisk, dvs, tan89,9≈572, tan89,99≈5729, tan 89,999≈57295, et cetera…

tan90 er uendelig og gir en feilmelding hvis du prøver å kalkulere det.

Så for å besvare spørsmålet jeg startet hele kapittelet med; hvorfor skal jeg kunne dette og når kommer jeg til å få bruk for det?

Først å fremst vil det å forstå trigonometri gi deg et nytt syn på verden rundt deg. Ikke det at jeg går rundt å ser sånn Matrix-kode hvor enn jeg går, men jeg legger merke til ymse rariteter som plutselig gir mening fordi jeg ser årsaken til dets design. Som f.eks. at gjengedybde er 0,866 ganger stigningen fordi gjenger er 60 grader og sinus til 60 er 0,866.

Mer praktiske eksempler:

Man kan bruke denne kunnskapen til f.eks å ta et halvt hundredels kutt på dreiebenken ved å stille toppsleiden i 30° i forhold til Z aksen, slik at en hundredels bevegelse på toppsleiden utgjør 0,005mm mating innover, fordi sin30=0,5.

Et annet eksempel er bruk av noe som på engelsk kalles en “sine bar“. Jeg er ikke sikker på hva det kalles på norsk, men en ekvivalent innretning er jo sinusbordet.

“Sinebar”

Sinusbord

Poenget med en “sinebar” - eller sinusbord for den delen - er at du kan oppnå ekstremt eksakte vinkler ved bruk av trigonometri.

Den består av to presist slipte sylindre som er festet til en presisjons-slipt blokk. Avstanden mellom sentere på sylinderne er kjent, alltid et rundt tall som f.eks. 100mm. Streken som går mellom senterne på disse utgjør hypotenusen i trekanten vår og er parallell med overflaten på blokken.

Så ved å bygge oppunder den ene sylinderen kan man øke vinkelen på en presis måte, vanligvis med passbiter.
I eksempelet over, dersom vi vil oppnå en vinkel på 15° må vi finne ut hvor høyt vi skal heve den ene siden.
Basert på lengden mellom aksene til sylinderne, må vi finne forholdet til 15° og gange det med denne lengden.

Sinus til 15 er 0,25881…etc., så dersom vi ganger dette med 100 får vi 25,881 mm. Så hvis vi bygger oppunder den ene sylinderen med 25,881mm vil vinkelen bli nøyaktig 15°.

Bak teppet:

Jeg nevnte at funksjonene er selvstendige funksjoner som gjør jobben sin på en litt skjult måte. Det er én ting å forstå hvordan man bruker dem, men det gir ikke noen dypere forståelse av hvordan selve funksjonene fungerer.

Når det er sagt er funksjonene kompliserte, ikke noe jeg kan gjøre rede for hvordan fungerer i inngående detalj, men det jeg vil poengtere er at de forsøker å gjengi sinuskurven fra en perfekt sirkel, altså approksimere verdiene som oppstår “naturlig“ mellom vinkler og en perfekt sirkel. Vi har ikke egentlig noen perfekt måte å gjengi hvordan en sinuskurve og en sirkel interagerer, men vi har funnet ulike måter å beregne ekstremt nøyaktige tilnærminger. Og det er godt nok. Taylor-serien er en av disse metodene jeg nevnte tidligere:

Under er en graf av Taylor-serien til høyre, og formlene for approksimeringen av sinus og cosinus til venstre. De forskjellige fargene representerer hvor nøye, eller hvor lang vi lager formelen så å si. Jo lenger vi lager formelen jo bedre approksimering av sinuskurven får vi.

Under er en animasjon som viser hvordan vi får en mer korrekt tilnærming jo flere ledd vi legger til i formelen. N = antall ledd.

Jeg går litt vel langt her nå, og snakker om ting som egentlig ikke er relevant for å faktisk bruke funksjonene, men det er fremdeles viktig for å forstå hva de egentlig er. Det er ikke nødvendig å vite dette for å forstå relasjonene og bruken av de trigonometriske funksjonene. Jeg forstår det ikke helt selv, men poenget jeg prøver å få fram er at sinus og cosinus er ikke magiske tall eller forhold, men funksjoner som påvirker tallet du putter inn.

Når du plopper det inn i kalkulatoren bruker den vanligvis noe som kalles for CORDIC-algoritmen. Kalkulatoren jobber som sagt i radianer, men forstår når du skriver ting i grader og viser deg svaret i grader dersom den er satt til det.

Det eneste jeg egentlig har kommet fram til er at jo mer jeg lærer, jo mer forstår jeg at jeg ikke vet.

Men i lys av det jeg nå har skrevet om, og med tanke på mine første paragrafer om skolen og læremetoder, så anbefaler jeg alle å lese Paul Lockhart sitt essay “A Mathematician’s Lament“ .

Pinnefresens anatomi og hvordan velge riktig verktøy til jobben

Pinnefreser (End Mill) er den vanligste formen for skjæreverktøy til universale freser og valg av riktig pinnefres til jobben som skal gjøres kan utgjøre en stor forskjell. Det er mange dimensjoner å ta hensyn til ved innkjøp og bruk av pinnefreser.

View fullsize

Både materiale som skal freses og applikasjonen er kritiske i valg av fres. 

Kuttdiameter og kuttlengde

Fresens diameter og kuttlengde er åpenbart en vesentlig del å ta hensyn til ved valg av fres. Tykkere freser tåler mer og er mer stabile. Rigiditet og motstand mot vibrasjoner og defleksjon er viktig når det kommer til fresing og derfor bør man bruke så tykk fres som det lar seg gjøre. 

View fullsize

Kuttdiameteren er diameteren på den teoretiske sirkelen som dannes når verktøyet spinner rundt. Dersom fresen ikke står sentrert vil kuttdiameteren øke og fresen vil hovedsakelig skjære på én tann, hvilket er langt fra ideelt.

Total lengde (Overall Length), flutelengde (Length Of Flute) og kuttlengde (Length Of Cut) er kritiske ved bruk av lange freser. Dersom en lang fres må benyttes er det bedre å bruke en med lang hals (lang LBS, Length Below Shaft) og kortere kuttlengde siden den har tykkere kjerne/aksel over en større del av den totale lengden enn en tilsvarende lang fres med lengre kuttlengde:

View fullsize

Akseldiameteren har også betydning for hva slags collet eller annen montering og oppspenning som må benyttes. Ofte er akselen tykkere enn kuttdiameteren slik at det kan være problematisk å komme til dersom man skal frese dype spor eller lignende.

Fluter

Antall fluter spiller en stor rolle for fresens materialfjerningsevne, matehastigheter, sponevakuering, stabilitet og defleksjon. En fres med flere fluter har en tykkere kjerne som gjør den bedre i stand til å stå i mot radiale krefter og kan derfor f.eks. ta dypere/lengre kutt (stikke lenger ned i arbeidsstykket).

View fullsize

Men med mange fluter blir hver flute liten, altså er det liten plass til sponet som produseres ved fresingen. 

View fullsize

Tradisjonelt kom pinnefreser i utforminger med 2 og 4 fluter, der tommelregelen var å bruke 2 fluter på bløte metaller som aluminium, kobber, etc. og 4 fluter på hardere materialer som stål og andre harde legeringer. Grunnen til dette er at bløte metaller som aluminium er lettere å maskinere, samt at de har en tendens til å pakke seg i flutene og hindre sponevakuering dersom flutene blir for små, mens stål og lignende stor sett krever sterkere freser og lager mindre og mer håndterlig spon som lettere lar seg evakuere selv med grunne fluter.

View fullsize

Med flere fluter kan man også benytte høyere matehastigheter eller oppnå finere overflate med samme matehastighet ved å øke antallet fluter. I moderne produksjon der det settes fokus på hurtig maskinering er flere fluter blitt populært fordi det gir sterkere freser som kan mates fortere og fjerne mer materiale samtidig som det forlenger levetiden til verktøyet grunnet lavere stress på hver tann/flute.

View fullsize

View fullsize

Mer fres gir plass til mindre fluter.

Med nyere materialforskning og produksjon er det blitt vanlig med 3 fluter for aluminium fordi det gir en god balanse mellom god sponevakuering og høye matehastigheter.

Endeutforming og profil

Endeutformingen er viktig med tanke på bruken og hvordan fresen skal bevege seg, spesielt med tanke på CNC maskiner.

View fullsize

Blant "normale" pinnefreser finnes det hovedsakelig 4 typer:

• Flat / "vanlig" pinnefres (Square / Flat Nose)
• Avrundet / Radius (Radius Corner / Bull Nose)
• Kule (Ball Nose)
• Fas eller formfres (Chamfer / Formed End)

View fullsize

View fullsize

Avrundede freser, eller radiefreser, er populære der det f.eks. ikke er kritisk med 90° skarpe innvendige hjørner og brukes mye til generell grovforming. Den avrundede kanten på eggen gir en jevnere trykkfordeling på den ellers skarpe tuppen av skjærene som gjør at verktøyet tåler mer og varer lengre. 

Kulefreser er på sett og vis også radiefreser, men de ender ikke opp i en flat del, de lager halvkuler. Disse er mye brukt til forming av kompliserte deler i 3-,4- og 5-akse CNC maskiner der myke overganger mellom passeringer er nødvendig eller rett og slett der det trengs en kanal eller innvendig form med en radius.

Fasefreser eller andre formfreser brukes gjerne til avsluttende passeringer for å fase kanter eller påføre spesielle former på deler av arbeidsstykket.

Når det gjelder flate pinnefreser finnes det hovedsakelig 2 typer: senterskjærende og ikke-senterskjærende

View fullsize

Forskjellen sier seg selv; den ene typen skjærer i midten og kan "plunge", altså stikkes rett ned i arbeidsstykket på samme måte som et bor, den andre kan ikke og må beveges i X eller Y for å skjære.

View fullsize

En annen litt interessant egenskap ved moderne pinnefreser er at tennene mot formodning ikke står helt symmetrisk, men er ofte slipt inn med små variasjoner i gradene mellom dem:

View fullsize

I eksempelet over er det avbildet en 4-fluters flat pinnefres som man skulle tro hadde tenner med 90° intervaller, men de er litt forskjøvet frem eller tilbake slik at ingen av tennene har lik vinkel mellom seg, men vinklene blir selvsagt fortsatt 360° totalt. Dette er for å forhindre "chatter" eller vibrering i verktøyet eller arbeidsstykket ved at fresen treffer en frekvens som resonnerer med intervallene på tennene. Så disse er litt forskjøvet for å forhindre dette.

Heliksvinkel

Heliksvinkelen er den aksiale vinkelen på flutene som går rundt akselen. Vinkelen måles mellom senterlinjen til fresen og en rett linje som går tangentielt langs kuttsiden.

View fullsize

En høyere heliksvinkel (45° og oppover) øker fresens evne til å skjære istedenfor å rive og vil stort sett gi en bedre overflate, men gjør fresen skjørere og svakere. En lavere heliksvinkel (30° og lavere) gir en sterkere fres med sterkere kuttsider, men fresen lager grovere overflater siden den river mer enn den skjærer og er bedre egnet til grovbearbeiding.

View fullsize

En fres med middels heliksvinkel (mellom 30° - 45°) vil være godt egnet til allround bruk med akseptable resultater.

View fullsize

Også her lekes det med parametre for å motvirke vibrasjoner og hakking. Høy-prestasjonverktøy har ofte variable heliksvinkler på hver flute som forhindrer ytterligere resonans og bryter opp mønsteret.

View fullsize

Flere illustrasjoner hentet fra Harvey Performance. 

Coriolis og Eötvös

Det er en stund siden siste innlegg, hovedsakelig fordi jeg ikke har gjort noe veldig spennende i det siste som jeg ikke har skrevet om før, og det nye jeg har lært er forbundet med prosjekter jeg enda ikke er ferdig med. Men nok om det. 

Vi har i det siste lært mye om ballistikk og ammunisjon. Dette er et bredt tema som kan forklares bedre av andre enn meg, og det finnes allerede flust med informasjon på nettet om prosjektiler, aerodynamikk og der tilhørende ballistikk i alle dets faser gjennom prosjektilets flukt fra tennstempel til mål. Men jeg kan nevne at det primært sett er 4 faser; indreballistikk, overgangsballistikk, ytreballistikk og terminalballistikk. 

View fullsize

Bildet over har lite med det jeg vil skrive om å gjøre, men det er et interessant bilde som viser trykkbølger fra kruttet og soniske trykkbølger fra prosjektilet. Det er tatt ved hjelp av Schlieren fotografi.

Det jeg derimot vil skrive om er fysiske effekter vi kan observere ved skyting på langt hold, og dermed dreier seg om ytreballistikken.

Corioliseffekten

Du har kanskje hørt om Corioliseffekten før, f.eks. fra meteorologer som snakker om tropiske stormer og orkaner og hvordan de spinner. Oppkalt etter den franske viteskapsmannen Gaspard-Gustave de Coriolis, og beskriver bevegelse til objekter i et roterende system sett fra et roterende referansepunkt. 

Det er mye usann og dårlig informasjon der ute om den tilsynelatende mystiske Corioliseffekten og hvordan den endrer hvilken vei vannet snurrer når man tømmer det ut av et badekar eller lignende på den nordlige kontra sørlige halvkule. Dette er selvsagt bare tull og har ikke noe med godeste Herr Coriolis å gjøre. Derimot påvirker den hvilken vei orkaner spinner på de to halvkulene, mot klokka på den nordlige, og med klokka på den sørlige.

Men Corioliseffekten er en ting man som skytter kan komme til å måtte ta hensyn til dersom det skytes på ektreme hold, type 800 meter eller mer. Vi var kun så vidt borti det på skolen, og den utgjør på ingen måte et utslag som er vesentlig for de aller aller fleste skyttere, men den omhandler hvordan jordens rotasjon påvirker kulens treffpunkt. Og det synes jeg er interessant. 

View fullsize

Denne vakre blå oblate sfæroiden som vi kaller hjem spinner rundt sin egen akse, fra vest mot øst. Mot klokka sett fra nordpolen.

Man kan ved første øyekast tenke seg at dersom man skyter over veldig lange avstander vil jorda snurre av gårde under kula og den vil lande et sted til høyre eller venstre for der man siktet, fordi mens kulen var i luften har målet flyttet seg litt p.g.a. det i motsetning til kula fortsatt var festet til kloden og fortsatte å snurre med samme hastighet. Dette er bare halvparten av sannheten og dersom vi hadde stått nettopp på nordpolen og skutt sørover ville akkurat dette skjedd.

View fullsize

Jorden har en hastighet på 1 rotasjon om dagen, som tilsvarer 0,000694 RPM.

Den har en omkrets på ca. 40075 km ved ekvator, og dette gir den en "overflatehastighet" på rundt 1650 km/t ved ekvator.

Dette tilsvarer ca. 460 m/s. Siden jorden spinner om sin akse vil denne overflatehastigheten gradvis gå mot 0 når vi beveger oss mot nordpolen eller sørpolen. 

Hvis vi hadde skutt i rett linje langs en lengdegrad som på bildet over ville kulen skjenet til vår høyre siden vi skyter fra en posisjon som har tilnærmet 0 overflatehastighet og ned til ekvator der bakken spinner med 460 m/s i forhold til oss. Så rent hypotetisk sett, hvis vi hadde kunnet skyte et prosjektil fra nordpolen til ekvator, på ett sekund, og dette prosjektilet fulgte jordens krumning, ville det ha havnet 460 meter til høyre for der vi siktet.

Dersom man skyter fra ekvator og mot nordpolen blir det ikke nødvendigvis mer tricky, men ved første tanke kunne man tenkt seg at prosjektilet vil skjene mot venstre siden jorden igjen spinner under kulen. Men dette er ikke tilfellet. Ja, jorden spinner under kulen, men vi skjøt fra et punkt med høy bakkehastighet og oppover der jordens omkrets er mindre og dermed har lavere bakkehastighet. Kulen ble skutt ut med 460 m/s mot høyre (siden jorden snurrer mot vår relative høyre i dette scenarioet) og vil derfor etterhvert ha høyere hastighet mot øst enn jorden lenger nord som ikke vil klare å "catche opp" med kulen og den vil "dra fra" jorden og treffe høyre for mål.

Dersom man skyter fra ekvator og mot sørpolen vil kulen fortsatt bevege seg østover, men det vil relativt til skytteren virke som den går mot venstre.

View fullsize

Størrelsen på Corioliseffekten avhenger altså av hvor lenge kulen oppholder seg i luften og hvor stor endring i bakkehastighet det er mellom skytter og mål. Som et praktisk eksempel kan vi prøve å se hvor mye det har å si dersom vi skyter 2000 meter fra S30 og mot sørpolen. 

Jorden er delt inn med et tenkt koordinatsystem som er pakket rundt kloden og deles opp i breddegrader og lengdegrader.

View fullsize

Breddegradene går øst-vest og representerer posisjon mellom nordpolen og sørpolen i grader fra ekvator.

Lengdegrader går nord-sør og representerer posisjon mellom øst og vest i grader fra null-meridianen som går gjennom Greenwich i London

1 breddegrad er ca. 111 km. Disse gradene deles så opp i 60 minutter (') og deretter opp i 60 sekunder ("). Ett sekund breddegrad er ca 30,8 meter. 2000 meter blir da 64,935 sekunder breddegrad.

2000 meter sør fra S30° langs null-meridianen blir da S30° 1' 4,935" E0° 0' 0" eller -30.018038 0 om vi bruker desimalgrader.

For å finne omkretsen til denne breddegradslinjen tar vi:

View fullsize

Der rlat er jordens radius ved denne breddegraden fra jordens sentrum, (holder vanligvis med 6378.137 km), men i vårt tilfelle er det 6372.819 km for målet og 6372.824 for vår posisjon. Dette ble funnet med denne kalkulatoren.

Lat er kort for latitude som er engelsk for breddegrad, og lengdegrad er forøvrig longitude. I vårt tilfelle er det kjekt å bruke desimalgrader fordi det er enklere å regne med og vi bruker da 30.018038 for målet og 30 for vår posisjon.

Jordens omkrets ved denne breddegraden blir da 34670,7404348 km i forhold til startposisjonen vår som er 34677,0723587 km. Forskjellen i omkrets er 6331,923 m. Med litt rask matte kommer jeg frem til at forskjellen i bakkehastighet mellom disse breddegradene er 0,073 m/s. 7,3 centimeter i sekundet. Så hvis kula bruker, la oss si 3 sekunder, på å komme frem så havner den ca 22 cm til venstre. Bare pga. jordens rotasjon. Finurlig!

Denne effekten gjelder hovedsakelig ved baner som går nord-sør og vil avta ettersom man skyter mer og mer mot øst eller vest og jo nærmere man kommer ekvator.

View fullsize

Det som antakeligvis enda færre vet er at treffpunktendring ved skyting i øst-vest har svært lite med Coriolis å gjøre. Det er mye surr rundt dette også og mange som snakker om Corioliseffekten vet ikke eller glemmer å nevne at den har så godt som ingen innvirkning ved skyting rett øst og vest. Det var her jeg lærte noe nytt. Det er nemlig en effekt som heter Eötvös effekten.

Eötvös effekten

Oppkalt etter den ungarske fysikeren Loránd Eötvös, og er enkelt forklart en endring i oppfattet tyngdekraft på en masse grunnet endring i sentrifugal akselerasjon mot øst eller vest.

Denne effekten har egentlig ikke noe særlig med skytterverdenen å gjøre, og mer med fysikk og aerospace, og blir blant annet nevnt av Einstein i hans teori om relativitet. Både Coriolis og Eötvös effekten har mye mer praktisk betydning for f.eks. artilleri.

Men likeså er det denne effekten som forårsaker treffpunktendring opp eller ned ved skyting på lange hold øst-vest. Man kan si at Coriolis på sett og vis også spiller en liten rolle her, med tanke på at målet kommer nærmere kula ved skyting mot vest og går fortere fra ved skyting mot øst, men det er ikke det Coriolis effekten beskriver og det er en forenkling av det hele. Det er hovedsakelig Eötvös effekten som gjør at kulen får høyere sentrifugalkraft når den blir skutt med jordrotasjonen og lavere når den blir skutt mot. Derfor blir den "slengt" litt ut mot verdensrommet og vil treffe høyere ved skudd mot øst og vil "stå mer stille" relativt til jorda og falle raskere ned mot bakken og derfor treffe lavere ved skudd mot vest. Jeg skal ikke gå inn i matten her for den er komplisert og unødvendig, men det er av samme grunn at tyngdekraften oppleves lavest ved ekvator og at rom-raketter blir skutt ut med jordrotasjonen nettopp her; det krever mindre energi å "slenge" dem i bane.

Men jorden er jo flat uansett så hvem bryr seg.

View fullsize

Kuledreier? Kule greier!

Denne uken, blandt mye annet, har jeg endelig blitt ferdig med et prosjekt jeg har holdt på med lengre enn jeg tør å innrømme. Ikke nødvendigvis fordi jeg jobber tregt, men jeg har ventet på nødvendige deler. Men nå er dingsebomsen endelig ferdig og jeg kan fortelle litt om den.

Jeg har laget en kuledreier! Det er et verktøy for å dreie sfærer i dreiebenken.

View fullsize

Jeg startet opprinnelig med å lage den for å lage en hevarmskule:

Med tanke på hvor lang tid jeg har brukt på den hadde det definitivt vært mer effektivt å bare lage hevarmen på den gamle måten med frihånds-dreing og fil, men jeg har lært utrolig mye i løpet av produksjonen og verktøyet ble ypperlig som vi får se senere.

View fullsize

Verktøyet består av to store sirkulære deler som roterer på hverandre, sammenknyttet med en M12 bolt med forsenkningshode. Bolten har en sikringsmutter under, inni basen, for å sørge for at den ikke løsner under bruk.

View fullsize

På den øvre delen av basen sitter dreieskjæret i verktøytårnet. Skjærene er festet til en settherdet ståldel som sørger for stabilitet og mothold for skjæret når det møter arbeidsstykket. Denne er så skrudd i verktøytårnet. Skjærene er TCMT 110204 festet med M2,5 torx insert-skruer. Disse spesifikke skruene var hovedsaklig det jeg måtte vente en stund på før jeg kunne få tatt i bruk verktøyet.

Mer om skjær i et fremtidig innlegg.

View fullsize

Verktøytårnet er festet til svalehale-sleiden med to forsenkede M8 bolter.

View fullsize

Sleiden kan beveges frem og tilbake i dette sporet og kan låses fast i ønsket posisjon ved å stramme de fire set-skruene som dytter på den ene sleidekanten.

View fullsize

Hele verktøyet festes i T-sporet i tverrsleiden på dreiebenken med disse to T-spor mutterne her:

View fullsize

Disse blir så strammet av to M8 bolter som er forsenket inn i basen og den øvre delen må vris til riktig posisjon for å få tilgang til boltene.

View fullsize

Den er altså festet slik:

View fullsize

Spaken bak brukes for å vri den rundt arbeidsstykket og dette skaper kuleformen.

Det eneste som nå manglet var et godt grep på denne spaken, så kronen på verket var å lage en messingkule til enden av spaken med verktøyet. På den måten har verktøyet fullført seg selv!

Her er noen videoer av den i aksjon:

Det ferdige resultatet:

View fullsize

 

Hevarmen

Så var den virkelige testen kommet. Å dreie stål; å lage den hevarmen som jeg i utgangspunktet lagde dette verktøyet for.

Jeg fikk en tegning på hvordan hevarmen skulle være. En klassisk hevarm har en litt dråpeformet kule, men siden jeg benyttet kuledreiern min fikk jeg lage en litt mer sfærisk hevarmskule.

View fullsize

Det viktigste å tenke på med dette verktøyet når man skal lage sfærer er at senter av basen, altså det punktet verktøyet roterer om, er rett under og i senter av den kulen som skal dreies. Ved å sette senter utenfor eller forbi midten av kulen kan man lage ovale former og lignende.

Verktøyet har også skjær utvendig for å lage konkave former.

For å bruke verktøyet setter man først skjæret til senter av basen. På bildet under kan man så vidt se to rissede punkter som representerer at tuppen av det innerste skjæret er i senter av basen. Dette er en av de få pirketingene jeg gjerne skulle funnet en finere løsning for, kanskje lodde fast en bit av en linjal, eller på en eller annen måte gravere inn en millimeter-skala, men det er ikke nødvendig og funker helt fint uten.

View fullsize

Deretter kjøres verktøyet inntil arbeidsstykket til det så vidt møtes, og den digitale avleseren på dreiebenken nulles. Det er her viktig at vektøyet står mer eller mindre 90° på arbeidsstykket. Når avleseren er nullet kan tverrsleiden kjøres inn radien av arbeidsstykket (eller diameteren om avleseren er satt til diameter-modus, som de vanligvis er) mens vektøyet blir presset mot arbeidsstykket og da blir dyttet bakover i sleiden og vil innta den nøyaktige radius som arbeidsstykket har. Det er her selvsagt viktig at arbeidsstykket er dreiet ned til ønsket radius på kulen på forhånd.

View fullsize

Verktøyet føres tilbake ut fra arbeidsstykket og låses fast. Det vil da være kalibrert til korrekt radius.

View fullsize

For å begynne å dreie kulen settes en av aksene, X (radial / diameter) eller Z (aksial / lengde) til null, det spiller liten rolle hvilken.

Deretter avanseres kuttet med den andre aksen mens man roterer verktøyet. Etterhvert som man nærmer seg nullpunket for begge akser vil en kule eller halvkule fremarte seg. 

View fullsize

Deretter gjenstod det litt dreiing for å tynne ned selve armen og litt lett filing og pussing.

View fullsize

Den skulle også varmbøyes ca. 30°. Her brukte jeg nok litt for direkte og hard varme og litt mye oksygen i blandingen med acetylenen for det ble brent opp litt stål i bøyepunktet.

View fullsize

Det var ganske mye gods å varme opp, men det gikk nå til slutt og skadene er ikke noe litt smergel ikke kan fikse.

View fullsize

All done! Denne oppgaven tok både et halvt år og én time. Snodig det. Men verktøyet fungerte nydelig og jeg har lært mye av å lage det og hevarmen i seg selv ble ypperlig.

Dreiing av løpsemne

Forrige uke ble jeg ferdig med første del av en lengre prossess som i teorien skal ende opp med å bli et fullt fungerende løp til en Mauser M98.

Det hadde vært veldig dyrt å gi alle ferske elever ekte løpsemner å jobbe med, d.v.s. stålstenger med ferdig riflet hull i, så vi bruker standard 30mm rundt bløtstål. De ferdige "løpene" blir også totalt 35cm lange, som er ulovlig kort i norge for jaktrifler uansett. Dette er sannsynligvis for å spare stål og gjøre oppgaven litt raskere, men ikke egentlig noe enklere. Prinsippene er de samme om man skulle laget en lengre pipe.

View fullsize

Her er det ferdige produktet. Det første jeg gjorde var å finne toleransene jeg må forholde meg til. Som vi kan se på bildet er ingen toleranser satt på tegningen, de som er skrevet på er de jeg har ført på. Det oppgis at vi skal følge NS-ISO 2768-1, som er en standard for toleranser som gjelder alle mål som ikke er spesifikt toleransesatt i tegningen, men denne standarden følges bare om det oppgis på tegningen ettersom det finnes flere nøyaktighetsgrader innen denne standarden. Som vi ser så skal vi bruke "middels".

Jeg har ikke i skrivende stund enkel tilgang på tabellen med standarden, men den ser omtrendt slik ut:

View fullsize

NB! Ikke bruk tabellen over i ordentlig arbeid, den er ikke helt korrekt.

Etter det var gjort kunne jeg sette i gang. Jeg kappet et stykke rundstål såpass langt at jeg kunne holde det i kjoksen slik at alt som skulle bli løpet var fritt tilgjengelig, d.v.s. jeg kappet det slik at jeg hadde et oppspenningstykke som kun er til for å trygt feste delen i maskinene.

Jeg dreide hele delen ned til største diameter på tegningen, 29mm. Jeg hadde her 0,2mm toleranse begge veier, så alt mellom 29,2 til 28,8 ville vært akseptabelt. Delen skulle helt til slutt pusses og poleres så jeg la meg godt på overmål, d.v.s. jeg dreide alle diametere ned til øverste toleranse med vilje for å ha mest mulig gods å gå på når jeg skulle pusse delen senere. For å være helt på den trygge siden la jeg meg faktisk på 29,3, men dette viste seg å være unødvendig mye sikkerhet og endte opp med å bli til unødig pussing.

Deretter regnet jeg ut konusvinkelen, eller rettere sagt, toppsleidevinkelen som man kan se på det øverste bildet. Den koniske delen av løpet skulle ha en forskjell i diameter mellom endene på 8mm, så vinkelen på toppsleiden ble bare 0,864°.

Indikasjonsmerkene på toppsleiden er langt i fra presise nok; jeg måtte finne en god måte å sikre riktig vinkel på.

Noen av mine medelever regnet ut at et stykke på 100mm av konusen kom til å ha et avvik i diameter på 3,02 eller noe der omkring og dreiiet konuser og justerte toppsleiden til avviket de målte med skyvelære ble korrekt. En helt kurant, men i min mening tungvindt måte å gjøre det på. Etter et godt tips fra læreren endte jeg opp med å klokke inn vinkelen.

View fullsize

Hvis konusen har en total endring i diameter på 8mm vil dette tilsi en endring på 4mm på en "side". Halvparten av dette vil da bli 2mm over halve lengden av konusen. Jeg kalkulerte som sagt med at konusen var 270mm minus radien 5 (som egentlig ikke er 5mm "lang", men å regne med 5 blir nøyaktig nok) altså 265mm. Halvparten ble da 132,5mm.

Jeg markerte opp 132,5mm på arbeidsstykket og førte toppsleiden frem og tilbake og justerte forsiktig på den med en gummihammer til måleuret viste en endring på 2mm over den avstanden jeg hadde markert opp.

View fullsize

Fra rissemerke til rissemerke, men ikke i rissemerket.

View fullsize

Vi har hverken konuslinjal eller pinolforskyver så konusen måtte lages med toppsleiden. Det går fint det, men da må tverrsleiden flyttes i løpet av konusdreiingen. Med toppsleiden og tverrsleiden nullet ut hadde jeg et nullpunkt på den smale enden av konusen.

View fullsize

Mange passeringer med toppsleiden og flyttinger av tverrsleiden senere:

View fullsize

I den tykke enden av konusen skulle det være en radius på 5mm. Jeg regnet meg frem til at den totale målbare lengden på konusen (den lengden av konusen jeg kunne få pålitelige diametermål fra) var 265mm. Konusen i sin helhet var 270mm, men siden enden av konusen hadde en radie trakk jeg denne fra totalengden i mitt regnestykke. En liten bisetning her er at mellom en diameter på 29 og 25 millimeter som radien var skille mellom blir ikke "lengden" av radien 5mm siden profilen i verktøyet ikke føres mer enn 2mm inn i arbeidsstykket (i forhold til delen som er 29mm i diameter).

View fullsize

Så nøyaktig hvor langt blir partiet med radius?

View fullsize

Vi kan bruke algebra, eller grafe en sirkel for å finne den eksakte lengden. Formelen for å grafe en sirkel ser slik ut:

Der X og Y representerer et punkt langs sirkelen og H og V representerer sirkelens midtpunkt på X og Y-aksen respektivt.

R representerer radien.

Med dette kan vi fylle inn dataene våre; vi vet at radien er 5 og at hvis vi tenker på X-aksen som løpet (den delen som er 29mm) vet vi at p.g.a verktøyets radius vil senter av sirkelen stå 5mm fra arbeidsstykket når det er i kontakt med arbeidsstykket, så sirkelens senter blir altså da;

X=0, Y=5

Vi vet at verktøyet skal 2 mm inn i arbeidsstykket, så med disse dataene kan vi fylle ut formelen til å se slik ut:

Vi kan rense den opp og fjerne nullen i X delen av funksjonen og regne den ut slik:

SIden noe opphøyd i 2 alltid blir et positivt tall vet vi ikke om svaret er 4 eller -4, som er forsåvidt riktig siden det vil være korrekt på begge sider av Y-aksen, men vi skjønner ihvertfall at "lengden" av radien er 4mm. Under kan vi se denne funksjonen grafet opp og vi ser at den blå streken (arbeidsstykket) og den rød sirkelen (formskjæret) møtes på -4 når kuttdybden tilsvarer 2.

View fullsize

Hvis vi sjekker svaret i et CAD program kan vi se at det stemmer:

View fullsize

Den totale lengden av konusen vil da bli 266mm, men som sagt så regnet jeg med 265 og det ble nøyaktig nok ved de toleransene vi jobbet med. Det er også viktig å bemerke at siden konusens store diameter regnes på tegningen fra slutten av radien kan formskjæret til radien føres inn sidelengs med tverrsleiden.

Etter at formen var dreiet gjenstod det pussing og polering.
 

View fullsize

Jeg begynte med grovt 80 smergel for å effektivt få vekk noen stygge, men ikke altfor dype, hakk som hadde oppstått under dreiingen og benyttet gradvis finere smergel opp til 400.

View fullsize

Jeg limte smergelet fast i en bit med L-stokk aluminium for å sikre gjevn kontant med løpet og gjøre det lettere å sikre at det blir tatt like mye over hele løpet slik at det ikke danner seg flukter og bølger i løpet når man ser nedover det.

Deretter våtslipte jeg med 600 og 1200 papir og polerte til slutt med poleringsmiddel.

Helt til slutt kappet jeg løpet fra oppspenningsbiten og dreiet det til korrekt lengde.

View fullsize

Meget pent! Pussingen var det steget av prosessen jeg ble minst fornøyd med. Ikke p.g.a finishen, som ble meget bra, men jeg pusset litt aggressivt ved enden av konusen og ved den skarpe overgangen på radien slik at disse ble noe avrundet. Jeg får passe litt bedre på pussingen min i fremtiden.