Kjenn dine akser!

Kjennskap til og forståelse for dimensjonene vår eksistens er begrenset til gjør at vi kan utnytte dem til vår fordel.

Vi lever i en 3-dimensjonal verden. Så langt i hvert fall.

Vi kan bevise det ved å tegne en strek, for så å strekke en ny strek fra den som er 90° i forhold til den første, på samme plan.

Dette kan vi gjøre én gang til, men den kan ikke være på det samme planet! Den nye streken er nå 90° på de to andre strekene.

Nå har vi 3 streker som peker hver sin retning. Kan vi gjøre det igjen? Nei, det går ikke, det er ikke flere dimensjoner å strekke seg ut i som gjør at en fjerde strek vil være 90° i forhold til alle de andre strekene.

Under er en visuell representasjon av dimensjonene. Legg merke til at selv om bildet vises på en 2D skjerm, kan vi fremdeles simulere 3 dimensjoner, som gir bildet perspektiv.

Men kanskje den ikke trenger å være det i den fjerde dimensjonen, hva vet jeg, men i de tre dimensjonene vi lever i går det i hvert fall ikke an.

En roterende hyperkube. Et forsøk på å visualisere en 4-dimensjonal kube, kjent som en tesserakt. Det ser ikke sånn ut, men alle vinklene er teoretisk sett 90°.

---

Kartesisk koordinatsystem

Et punkt på et plan er definert med et koordinat. Ordet koordinat er for øvrig et sammensatt ord av prefikset ko-, som betyr sammen eller til, og baseordet ordinat, som kommer fra Latin ordinare, og betyr å ordne eller sette i rekkefølge. Et ordinat er et punkt på samme linje parallelt med en akse, vanligvis Y-aksen i matematikk, og ordinater langs X-aksen kalles for en abscisse. Disse to verdiene… koordinerer… med hverandre for å definere et punkt på et plan. Dette er et koordinat.

Aksene som utgjør et koordinatsystem kalles X og Y, der X alltid er den horisontale og Y alltid er den vertikale.

Koordinater defineres med variablene X og Y i parentes slik: (X, Y) som definerer en distanse langs den respektive aksen fra nullpunktet i midten der aksene krysser. Dette punktet heter origo, fra Latin opphav eller opprinnelse. Variablene oppgis ALLTID i alfabetisk rekkefølge. (Den fjerde dimensjonen oppgis faktisk med W, men det er fordi det ikke er flere bokstaver etter Z i det engelske alfabetet. Kanskje vi burde kalle den Æ-aksen her til lands. Det angår uansett ikke oss, så nok om det.)

Et koordinatsystem er delt inn i 4 kvadranter. Ordet kvadrant kommer fra Latin quad, som betyr fire, eller fjerde, og derav quadrans som betyr en kvart. Det er vanlig å operere i den første kvadranten i et koordinatsystem. Første kvadrant er alltid opp og til høyre. Deretter går de mot klokken. Alle koordinater i første kvadrant er positive i forhold til origo.

Et punkt i rom er definert med 3 verdier. X, Y og Z. Men hvor går Z-aksen? Åpenbart perpendikulært til X og Y, men det kommer selvsagt an på referansebildet og hvor du ser det fra.

Et koordinatsystem kan enten være spesifisert ut fra et globalt referansepunkt, eller et lokalt referansepunkt. Et globalt referansepunkt vil si et koordinatsystem som er overordnet alle andre systemer i det. Et objekt i et globalt koordinatsystem kan ha en posisjon, rotasjon eller vinkling som gjør at dets lokale koordinatsystem er helt annerledes orientert enn det globale, men dets posisjon og rotasjon kan defineres innen det globale systemet det befinner seg i.

I et koordinatsystem med 3 akser er det 8 seksjoner. Disse kalles oktanter. Jeg trenger nok ikke forklare hvor det ordet kommer fra.

Hvis man ser nøye etter på bildet over, så ser vi at Z-aksen ligger ned og Y-aksen går vertikalt. Dette er for så vidt helt legitimt, men presenterer et unikt problem. Hvordan det koordinatsystemet vi bruker er orientert i det ultimate globale systemet alle koordinatsystemer er underlagt; virkeligheten.

Akkurat dette problemet med hvilken retning Z skal gå er noe som har plaget meg i lengre tid. Det virker som det er et problem som avhenger av hvordan du velger å se på det. Et problem som muligens har sine røtter i klasserommet når man først lærer om koordinatsystemer.
Se for deg at du har tegnet et 2-dimensjonalt koordinatsystem på et ark på et bord, liggende flatt på bordet som om du var eleven som skrev det i rutearkboken din; hvis du nå skulle legge til Z-aksen, hvilken retning ville den gått? Oppover, ikke sant? Opp fra bordflaten? Mot himmelen?
Eller gir det mer mening å se på tavlen til læreren, eller løfte opp boken, slik at Y-aksen nå peker oppover og Z-aksen nå kommer ut mot deg som på bildet over?

Jeg har alltid tenkt på det som det første eksempelet. At Z går oppover, gir rommet høyde, i motsetning til utover og gir rommet dybde.
Hvis du tenker deg rutenettet som jorden er delt opp i, altså lengdegrader og breddegrader, X og Y, så kan elevasjonen (altituden) , Z, kun gå én vei, opp.

---

I praksis

Sannheten er at begge måter å se på det er korrekt, men det er viktig å ha i tankene. Når vi beveger oss inn i praktisk bruk av koordinatsystemer, spesielt i maskiner, er det særdeles viktig å holde tunga rett i munnen og vite hvilken orientering maskinens koordinatsystem har, for å kunne korrekt forutsi maskinens bevegelser.

Heldigvis har vi flere tommelfingerregler for å hjelpe oss. Den første og viktigste er denne: Z er alltid spindelaksen!

Venstre: Vertikal fresemaskin. Høyre: Horisontal fresemaskin.

Regel nummer to er at alle bevegelser forekommer i forhold til spindelen.

For selve spindelaksen er Z+ alltid vekk fra arbeidsstykket.

På maskinen over er det bordet som beveger seg, mens spindelen står stille. Dette er ganske vanlig, men det er allikevel spindelen som er referansepunktet i maskinen. Alle bevegelser går i forhold til spindelen. På bildet over ser vi en ganske normal, universal vertikal fres. Pilene definerer aksenes positive og negative retninger i forhold til spindelen. Hvis vi skal bevege verktøyet til et positivt X-koordinat, vil bordet bevege seg mot venstre. Det samme gjelder Y. Hvis vi skal til f.eks. et negativt Y-koordinat, vil bordet bevege seg innover. Pilene på bildet over definerer retningene i forhold til spindelen. Hadde spindelen beveget seg hadde de vært “korrekt“, men siden den står stille og bordet beveger seg, blir det bevegelser omvendt for at bevegelsene skal bli korrekt i forhold til spindelen.

På maskiner hvor det ikke nødvendigvis er umiddelbart klart hvilken akse som er hvem og hvilken retning som er positiv, kan vi bruke en kjekk huskeregel:

---

Høyrehåndsregelen

Ved å holde hånden som på bildet over, og peke langfingeren langs spindelaksen, kan vi raskt og enkelt finne aksene i maskinen.

Denne regelen er så elementær i både matematikk, fysikk og mekanikk, at den til å med figurerer på Sveitsiske 200 Franc-sedler:

Kjent i Sveits som règle de la main droite på Fransk, eller Right Hand Rule på engelsk i resten av verden.

Kanskje mer kjent fra elektrisitetens verden, der den ofte brukes til å huske retningen på magnetiske felt og slikt, men den er like nyttig for oss som trenger den for å forme metall til vår vilje.

I dreiebenker er det litt annerledes siden det er arbeidsstykket som står i spindelen og verktøyet som står stille, men det er fremdeles spindelen som er primus motor når vi skal referere koordinatsystemet og aksene i en dreiebenk.

For at dette skal gi mening med håndregelen må vi faktisk benytte venstrehåndsregelen. Vi må også holde den opp som om vi peker pekefingeren mot taket.
Men det kommer selvsagt an på hva slags dreiebenk man jobber med, eller hvilken side av arbeidsstykket sleiden/verktøyet er montert.
Minus-retningen er alltid nærmere arbeidsstykket.

Dessverre er det slik at ikke alle maskinfabrikanter håndhever (get it?) disse “reglene“ og de stemmer ikke alltid. Men stort sett er de korrekt. Det er korrekt når de er korrekt.

---

Akseplan

Når to akser elsker hverandre veldig mye, former de et akseplan. Et plan er et to-dimensjonalt objekt og krever to retninger for å definere.

Siden det er 3 akser finnes det 3 primære akseplan.

Planene defineres med de to aksene som utgjør definisjonen av planet.
XY-planet er det horisontale planet, mens XZ og YZ planene er vertikale i hver sin retning.

---

Rotasjon

Akkurat som vi kan bevege oss langs aksene, kan vi i tredimensjonalt rom også bevege oss rundt dem. Hver akse representerer en mulighet for rotering rundt den, låst fast til den. Disse rotasjonsretningene kalles også akser; rotasjonsakser.

De er definert med bokstavene A, B og C, der de følger logisk alfabetisk rekkefølge og relasjon til X, Y og Z:

A er rotasjon rundt X.
B er rotasjon rundt Y.
C er rotasjon rundt Z.

Men hvilken rotasjonsretning er positiv?

Det må naturligvis defineres i relasjon til aksen den dreier om sin positive retning.

På samme måte som jorden, hvis du ser ned på den fra nordpolen dreier den mot klokka. Dette er korrekt for rotasjonsaksene også.

Ser man ned langs dem fra deres positive retning vil pluss-rotasjon være mot klokken.

Det finnes heldigvis en enklere måte å huske dette på, og igjen kommer vår gode venn høyrehåndsregelen til unnsetning igjen:

Hvis du former høyrehånden som om du skal signalisere tommel opp, og peker tommelen langs aksens positive retning, vil de resterende fingrenes pekeretning indikere positiv rotasjon.

---

Representasjon av aksene

I CAD-programmer og 3D-programmer heter den lille klumpen med 3 piler i hver sin retning en “triad”.
Den vises vanligvis i et hjørne på skjermen og brukes til orientering av skjermbildet. Tenk på den som et kompass.

Den oppstår også ofte på et punkt hvis du trykker på det, eller prøver å flytte noe.
Der brukes de hovedsakelig til å translatere (bevege lineært) og rotere - og i noen tilfeller - skalere.
Noen ganger vises de med akseplan, og tar man tak i de kan delen flyttes på planet.

Grunnen til at det kalles en “triad” er fordi den representerer et hjørne på en kube, og en triade er en av 3 (13) mulige symmetriakser i en kube:

Apropos ingenting: på engelsk heter en akse for axis, og flertallet er axes, uttalt med lang e, axees.

Du har sikkert sett triader før eller representasjoner av tre akser der aksene har hver sin farge. Du har sikkert også lagt merke til at de ofte varierer på hvilken farge som representerer hvilken akse?

Vel, det er én korrekt måte å farge aksene på, og det er igjen i logisk alfabetisk rekkefølge basert på de tre lys-additive primærfargene, Rød, Grønn og Blå.

X er Rød.
Y er Grønn.
Z er Blå.

Så sånn er det med den saken.

---

Euler-angles og Gimbal-lock

Rotasjon rundt primæraksene defineres i grader, og når disse 3 gradsystemene kombineres kalles de for “Euler-angles”, etter igjen, den legendariske Leonhard Euler.

En hvilken som helst vinkling og akse-rotasjon kan nåes innen 3 bevegelser.

Dette systemet visualiseres ofte med noe som kalles en “gimbal”. Tenk på det som en triade spesifikt for rotasjon.

Dersom du vrir en akse 90 grader slik at rotasjon rundt den nå koinsiderer med rotasjon rundt en annen akse, har vi oppnådd noe som kalles for “gimbal-lock“.

Med gimbal-lock mister man en rotasjonsakse og kan ikke lenger oppnå visse posisjoner/rotasjoner.

Men dette problemet angår ikke oss så veldig, men det er kjekt å ha i bakhodet. Det er et større problem i animasjon og 3D-grafikk, men nå har de noe som heter quaternions, som navnet tilsier bruker 4 verdier for å beskrive en vinkel og rotasjon, men det skal jeg ikke gå inn på fordi det er ikke relevant for dette innlegget og det er svart magi jeg ikke forstår meg på.

---

Magien av 5 akser

Dersom vi har en maskin med rotasjon rundt 2 akser, har vi totalt 5 bevegelige akser, og kan gjøre 5-akse maskinering. I slike maskiner er det vanlig å ha rotasjon rundt X og Z, altså A og C, men siden rotasjon rundt Y ikke er tilgjengelig eller relevant (man kan oppnå det ved å tilte A 90°), blir aksene ofte kalt A og B, spesielt i maskiner der bordet beveger seg og ikke spindelhodet, eller der rotasjonsaksene er lagt til senere eller på annet vis ikke integrale i maskinens design. Dette har flere årsaker, som å poengtere at aksene det dreier seg om er for bevegelse av arbeidsstykket eller bordet, og fordi C-aksen vanligvis definerer spindelaksen, og hvis man vrir A er ikke C lenger koaksial med Z.

Viktig notat: I en bordbasert 5-akse maskin er nullpunktet alltid der A-aksen og C-aksen (B), møtes.

Dessuten har ikke “C“ aksen noe formål i maskiner der man kan oppnå det samme resultatet med XY interpolering, men dersom man vrir A 90° slik at “C“ aksen nå er på linje med Y-aksen vil den ha et formål, og den fungere da teknisk sett som en B-akse.

En måte å tenke på det på er at med bordet i normalposisjon er B-asken gimbal-locked til C-aksen. Ved å vri A-aksen har vi nå tilgang til alle vinkler.

Under er to forskjellige eksempler på ulike 5-akse maskiner.

Bordbasert Maskin med A- og B-akse

Spindelbasert Maskin med A- og C-akse

Håper du nå er litt mer kjent med aksene vi forholder oss til på en daglig basis! Husk: Uansett hvilket koordinatsystem du befinner deg i, så lenge du er klar over det, med XYZ-ABC-RGB og høyrehåndsregelen så kan du aldri gå feil!

Sinus, cosinus og tangens

Det må være et universalt faktum at vi mennesker hater å bli påtvunget lærdom vi ikke ser nytten av. Dersom noe ikke interesserer oss er det verdens største motbakke å lære seg det. I samme grad tror jeg ikke det finnes det menneske som ikke på ett eller annet tidspunkt har yttret “når kommer jeg til å få bruk for dette?“ .

Det er interessant hvordan hva som definerer den grunnleggende skolegangen til stadighet øker i kompleksitet og omfang. En grunnskoleutdannelse er mer omfattende i dag enn den var for 100 år siden. Og med god grunn, siden den sosiale og teknologiske forståelsen som kreves for å fungere i dagens samfunn er langt større enn den gang. Vi vet mer nå enn vi gjorde da, og derfor tar det lenger tid å få folk “up to speed“ på dagens verdensbilde. At dagens skolesystem er totalt uegnet for den oppgaven er et annet kapittel, der dens primære oppgave fortsetter å være en utdatert doktrine for å masseprodusere akkurat-passe-kompetente fabrikkarbeidere, i denne digitale tidsalder og automasjonsrevolusjon, er en synd og en skam, men det er nå en gang slik det er inntil videre.

Når skal man sette grensen for hva som kreves av kunnskap hos et menneske som skal ha en grunnleggende forståelse for verden, og et godt grunnlag for videre spisskompetanse? Det er et godt spørsmål. Hva er grunnivået? Burde vi begynne å spesialisere oss tidligere?

Ingen kan vite alt om alt, men alle kan vite det meste om noe, og alle burde vite litt om det meste.

Vi har riktignok begynt å bevege oss i riktig retning, men det er fremdeles en lang vei å gå.

Det viktigste skolen kan lære en elev er kunsten å tilegne seg kunnskap selv.

Hvor relatert paragrafen over er til det jeg egentlig vil skrive om er jo en diskusjon i seg selv, men jeg ble inspirert til å skrive om dette siden det er noe jeg selv ikke forsto ordentlig før lenge etter min skolegang var avsluttet, og det skremte meg. Det er vel ikke alt for langt å strekke seg å si at alle har eller har hatt en aversjon for matematikk i en eller annen grad. Som det opprinnelige poenget mitt ga, “når kommer jeg til å få bruk for dette?” er et helt legitimt spørsmål, og spør du meg så er det ikke nødvendig at en trenger å lære å løse komplekse ligninger på videregående dersom en ikke skal ta høyere utdanning innen fagfelt som har behov for å kunne det, som fysiker eller matematiker. Når det er sagt så må jeg jo til skolesystemets forsvar si at det er jo heller ikke sånn; det finnes grader av matematikk basert på hvilket utdanningsløp man tar, så noe av det jeg etterspør eksisterer allerede, og mye av mine meninger er nok smurt med et tykt lag av subjektive oppfatninger som bunner i skoletretthet fra første gang jeg gikk på videregående. Men hvorfor ble jeg lei av skolen i utgangspunktet er poenget mitt? Visste jeg ikke hva jeg gikk til? Var jeg bare ung og dum? Eller var det et dypere problem med systemet?

Uansett hva årsaken måtte være, så har jeg nå endt opp som hovedsakelig maskinist og metallarbeider, som ifølge dagens skolesystem behøver noe som heter praktisk matte. Hvilket går ut på mer praktisk orientert matematikk som geometri og prosentregning og denslags, og ikke så mye fokus på algebra og sannsynlighet og slikt.

Hvilket er greit nok, et steg i riktig retning som sagt, og grunnlaget for dette innlegget er egentlig ikke frustrasjon over innholdet i utdanningen, men læringen av det. Jeg kan selvsagt ikke snakke for alle, og lærere har min ytterste respekt, (spesielt på videregående nivå der de må forholde seg til et veldig slitsomt stadie av et menneskes utvikling, folk burde egentlig ikke begynt på videregående i en alder av 16 spør du meg), men jeg spurte alltid om hvorfor ting er som de er, hva er grunnen til at det og det blir det, hva er årsaken til at det er slik, hvem fant det opp, hvorfor, hva brukes det til, etc. Hvilket jeg svært sjeldent følte jeg fikk et tilfredsstillende svar på. Og nå som jeg endelig har fått svar på det jeg den gang lurte på gir alt så mye mer mening, og min forståelse for subjektet er mye, mye større.

Men det er det som plager meg. Jeg fikk aldri forklart hvorfor noe er som det er. Jeg ble fortalt at slik er det og det må du pugge og kunne. Hvorfor jeg måtte pugge og kunne er igjen et spørsmål som kan rettes til mitt første paragraf, men lære det måtte jeg. Og å lære noe uten å forstå hvordan det fungerer eller hvorfor man må lære det er ikke bare ødeleggende for selvtilliten til eleven, det er også utmattende.

Så i lys av mine egne erfaringer med skolesystemet og nye forståelse for et felt som er av ypperste viktighet for folk i mitt yrke, her er mitt forsøk på å forklare trigonometri:

Av alle matematiske felt må geometri og trigonometri være de aller mest interessante for meg. Kunnskap man faktisk ofte har bruk for, og kan benytte praktisk på mange områder. Ordentlig forståelse av trigonometri får en til å se helt annerledes på verden.

Ordet TRIGONOMETRI kommer, som så mye annet, fra gresk, og betyr trekantmåling. Det er alt trigonometri handler om. Måling og beregning av trekanter.

Det handler i all hovedsak om å finne vinkler når vi vet lengder på sider, og vice versa. To dimensjoner som ikke nødvendigvis er direkte intuitivt sammenkoblet.
Så når man virkelig forstår trigonometri og forholdene det omhandler finner man så mye mer glede i å bruke det.

I all hovedsak er det de esoteriske matematiske funksjonene ved navn sinus, cosinus og tangens jeg vil snakke om. Det er mye annet som også er viktig å kunne innen trigonometri, mest grunnleggende Pytagoras læresetning, men også bl.a. sinus-setningen og cosinus-setningen (law of sine/cosine) for utregning av ting i ikke-rettvinklede trekanter, men hvis jeg skulle prøvd å forklare det kunne jeg blitt her en stund. Men disse litt mer avanserte formlene bunner i å gjøre om andre trekanter til rettvinklede trekanter for å regne dem ut, så det er vel ikke feil å si at all trigonometri stammer fra den rettvinklede trekanten. Priset være den.

Så la oss holde oss til rettvinklede trekanter. Litt kvikk oppfriskning;

En rettvinklet trekant er en hvilken som helst trekant der én av vinklene er 90°:

Firkanten i høyre hjørne betyr at denne vinkelen er 90°. Vinklene i en trekant blir alltid til sammen 180°. Dette gjelder alle trekanter. Det kan bevises på ulike måter, men hvis du forestiller deg at den nederste streken ble kortere og kortere, og den vinkelen som er 30° kom nærmere og nærmere den høyre siden av trekanten, ville den gradvis også nærme seg 90°, helt til du ender opp med 2 streker som går rett opp og ned, og ligger oppå hverandre som begge er “90°“. 2x90=180. Tada.

Den lengste siden er Hypotenusen. Hypotenus kommer fra latin og gresk og betyr “strukket under“, hypo- (under) og ten- (strekke, som i eng. tensile strength).
Spør meg ikke hva det liksom er meningen at den skulle være strukket under, men jeg tenker at det er ment mer abstrakt enn bokstavelig, i den forstand at den er strukket mellom to punkter under forholdene eller kunnskap om hva disse strekene er, eller noe i den duren.

De to andre sidene som sammen utgjør 90°-hjørnet er Katetene. De kan navngis ytterligere, basert på hvor vinkelen vi snakker om ligger. I tilfellet over vil den nederste linjen hete “hosliggende katet” (eng. adjacent side) og den høyre linjen vil hete “motstående katet“ (eng. opposite side).

Navngivningen er nokså selvforklart, den motstående katet er den som vinkelen “peker på“, så hadde vinkelen vi snakket om vært den oppe til høyre ville navnene vært motsatt. Dette er viktig senere.

Hva er egentlig en vinkel og hvorfor er 90° rett?

Hvorfor bruker vi 360°? Vel, det er mange måter å uttrykke vinkel på, det er mer eller mindre tilfeldig at vi bruker grader mest. En sirkel er delt opp i 360 grader, men det er ikke noe iboende sammenheng mellom sirkler og tallet 360. Vi kunne like gjerne brukt 1000 eller 548, men sistnevnte høres ikke spesielt enkelt ut å regne med. Grunnen til at vi bruker 360 er av samme grunn som minutter og timer er delt inn i 60, det er flere faktorer for disse tallene enn mer runde tall i 10-tallsystemet.

360 har 24 faktorer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360

400 for eksempel har bare 15: 1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,200,400

Da det metriske system var under utvikling i Frankrike på 1700-tallet var det et forsøk på å flytte over til å regne med 400 grader, slik at en rett vinkel ble 100°, men det var ikke noen suksess, p.g.a. poenget over. Men dette er faktisk i noe bruk i dag og heter en gradian.

Kanskje vi burde delt inn en sirkel i 5040? Det tallet har hele 60 faktorer!

Men det finnes en enda bedre, mer matematisk sammenhengende måte å uttrykke vinkler på: Radianer

Hvorfor tar jeg opp dette? For å virkelig forstå sinus og kompani må vi vite om radianer.

Radianer er en måte å uttrykke vinkler på med radien til en sirkel. Størrelsen på denne sirkelen er likegyldig, siden det er er forhold vil det alltid stemme. Omkretsen av en sirkel er som kjent 2πr, så 180 grader av en sirkel langs sirkelen blir π ganger radien. Hvis vi kunne uttrykt vinkelen som en del av denne omkretsen så kan vi si at vinkelen er en andel av π ganget med radien. Hvis vi pakker radien rundt sirkelen langs omkretsen slik:

Da får vi 1 radian. 1 radian tilsvarer 57.2957795°, hvilket ikke er så brukervennlig i dagligtale.

90° blir rundt 1.57 rad. 3 rad blir nesten 180°. 180 grader er 3,1415 rad, altså πrad. 360° blir altså 2πrad.

Så hvis radien er 1 blir en hel omkrets 6,28…..etc. Derav 2πr. Eller πd om du vil. Eller τr om du føler deg ekstra dristig.

Her er en fin animasjon som illustrerer det godt, hentet fra Wikipedia:

Radianer er altså en renere, direkte sammenhengende, matematisk uttrykkelse av vinkel. Når du regner ut grader på kalkulatoren så regner den med radianer og omgjør det til grader som vi er mer vant til og lettere for oss å lese. Dersom du setter kalkulatoren til å vise rad så ser du svaret i rad, hvilket har forvirret meg ved flere anledninger der jeg ikke så at den var stilt til rad og ikke deg (degree). De fleste formler som omhandler vinkler og slikt på akademisk nivå bruker radianer.

Omgjøringen av radianer til grader er:

Siden π rad tilsvarer 180° så deler vi opp π i 180 (som blir ca. 0.017 ) og ganger med hvor mange grader vi hadde i vinkelen vår, så får vi hvor mye av π det tilsvarer.

Likedan, når vi gjør om fra rad til deg, så må vi dele opp 180 i π deler (som blir ca. 57,3) og så gange med hvor mange rad vi hadde.

Dersom franskmennene fikk det som de ville og gradianer (400° i en sirkel) hadde blitt standard, ville formelen sett helt lik ut, bare med 200 istedenfor 180.

Så hva har dette med sinus, cosinus og tangens å gjøre?

Vel, kun som bistand til å forstå hvordan de funker. Sinus, cosinus og tangens er funksjoner, mer bestemt trigonometriske funksjoner, mye på samme måte som de mer alminnelige aritmetiske funksjonene som pluss, minus, gange og dele, men de er en del mer komplekse.
Hvordan sinus og cosinus faktisk kalkuleres “bak teppet“, er avansert. Men det er ingen standard måte og regne det ut på, ulike algoritmer eksisterer for å approksimere resultatet av funksjonen. Noe som heter Taylor-serien kan brukes for å beregne en kurve som ligner så mye på en sinuskurve som mulig, mer om det senere.

En sinuskurve er spesiell fordi den beskriver en perfekt periodisk bevegelse. En periodisk bevegelse er som man kan tenke seg noe som gjentar seg om igjen og om igjen i et likt mønster over tid:

Eksempelet over er ikke en perfekt sinuskurve (eng. sine wave), men en sinusoid. Som vi lærte i innlegget om stål, så er noe som er -oid noe som ligner på noe, men ikke er det eksakt. Men de kalles gjerne sinuskurver uansett. Men hvorfor ser de sånn ut? Handlet ikke dette om trekanter? Joda. Men kurven er en graf av sinusfunksjonen, så for å forstå funksjonen må vi forstå grafen, og for å forstå grafen må vi se på forholdene i trekanten.

Hva er disse forholdene og hva betyr de?

Nå kommer vi egentlig til selve hjertet av temaet. Forholdene mellom sidene i en rettvinklet trekant. La oss gå tilbake til den første trekanten vår:

I eksempelet over er θ (theta) 30°. Sinus til 30° er 0,5. Hva betyr det? Det er lettere å visualisere hvis vi putter trekanten inn i noe som kalles enhetssirkelen, en sirkel med radie 1, med senter i origo.

Til høyre er et eksempel på en klassisk representasjon av enhetssirkelen.

Den viser 3 vinkler innen hver kvadrant, samt kardinal-retningene, i radianer i form av deler av pi.

Tallene i parentes viser koordinatene til det punktet uttrykket i fraksjoner av radien.

Vi skal forholde oss til en litt enklere utgave:

Alle strekene som går ut av senter i kardinal-retningene tilsvarer radien, akkurat som hypotenusen i trekanten, altså linje C.
Lengden av linje A og linje B er avhengig av vinkelen θ.

Men hva BETYR dette tallet?

Det betyr at ved en gitt vinkel er den gjeldende katet like lang som hypotenusen ganget med sinus/cosinus til vinkelen.

Sinus gir lengden til den vertikale streken i trekanten basert på vinkelen. Når vinkelen er 30° ser vi at den er like lang som halvparten av hypotenusen, altså radien, altså er den 0,5.

Vi kan bevise det visuelt at sin30 = 0,5:

Sinus til 45° er 0,707… Sinus til 60° er 0,866… Og så videre. Jo nærmere vinkelen nærmer seg 90° jo nærmere vil sinus til vinkelen bli 1.

Så hvis vi plotter inn flere punkter ser vi at det begynner å danne en sinuskurve:

View fullsize

Klikk på bildet for å se en større versjon

De røde horisontale strekene til høyre i visualiseringen over er lengden på kurven fra (1,0) opp til det punktet langs omkretsen av sirkelen. På den måten blir en sirkel om til en rar bølge.

Resten av kurven er bare ekstrapolert ut av flere tenkte punkter langs resten av sirkelen. Vi ser at i neste kvadrant vil Y fortsette å være positiv, men X går mot null og vil bli negativ, derav den nedadgående kurven, og når Y blir negativ i de to neste kvadrantene vil sinuskurven dukke under på samme måte. Men den totale avstanden fra start langs sirkelens omkrets fortsetter å øke, derfor fortsetter bølgen stadig til høyre.

Her er en bedre visualisering, også hentet fra Wikipedia:

Over ser vi en representasjon av en perfekt sinuskurve som følger enhetssirkelen.
Den blå streken er et punkt som beveger seg langs omkretsen. Hvis vi trekker en strek fra origo (senter av sirkelen) til dette punktet får vi en strek med lengde r, altså 1 i dette tilfellet. Ettersom den blå streken beveger seg langs omkretsen øker vinkelen til denne streken i forhold til x-aksen. Hvis vi så trekker en strek fra det blå punktet ned til x-aksen, så vil dette representere “høyden“ til punktet langs y-aksen til enhver tid. Hvis vi følger den gule vertikale streken fra den blå streken og til den røde i grafen, så ser vi hvordan denne “høyden” representeres av den røde streken ettersom det blå punktet traverserer omkretsen. Dette er sinuskurven.

Her ser vi tydelig forholdet til radianer også; en halv π blir rett opp, altså 90°, sinus til 90 er altså 1, og hvis vi prøver det på kalkulatoren ser vi at det stemmer.

Hvis vi plotter det inn i et koordinatsystem vil vi se at amplituden (Y) til kurven som følger enhetssirkelen alltid går mellom 1 og -1, og fullfører en syklus når X=2π

De trigonometriske funksjonene er også ikke-lineære, som vil si at du vil få det samme svaret selv om du øker tallet, så lenge vinkelen som dannes er den samme i forhold til aksene.

Sinus fortsetter å være 0,5 for alle vinkler som skaper den samme lengden på den motstående katet:

f(x)=sinx

Som vi ser på grafen så kan forholdet bare være et tall mellom -1 og 1. Noe over eller under dette vil gi en feilmelding ved bruk av sin eller cos.

På samme måte vil SIN 390, altså en rotasjon + 30°, også bli 0,5.

Dette forklarer sinus, men hva er cosinus?

Hvis sinus er “høyden“ så er cosinus “bredden“. Cosinus definerer lengden på streken som danner “grunnlinjen” i trekanten vår. Altså den hosliggende katet. I motsetning til sinus som definerer den motstående katet. For å si det på en annen måte; koordinatene til punktet som dannes der hypotenusen treffer den tenkte sirkelen kan representeres i X og Y med cosθ og sinθ respektivt, der θ er vinkelen vår.

Vi kan se på bildet under hvordan forholdene mellom sidene i trekantene og vinkelen spiller sammen, og hvordan man kan tenke seg at de relaterer til en sirkel.

Cosinus er 90° “offset” sinus og danner en kurve som starter høyt men ellers er uadskillelig fra en sinuskurve, men den er en kvart syklus asynkron.

Hvil øynene dine på atter en fantastisk visualisering fra Wikipedia:

OK, det er funksjoner, så hva betyr de og hvordan brukes de?

Etymologien til ordet “Sinus“ er lang og knotete, men det kommer fra latin og betyr “favn“ “havn“ eller “bukt“, som er en mistolkning via arabisk og har sitt opphav fra sanskrit “jiva“ som betyr “korde“, hvilket i matematikk er et linjestykke som går mellom to punkter på en kurve (BX).

Cosinus er satt sammen av to deler; rot-ordet “sinus” med prefixen “co“, som betyr “sammen“ eller “motpart“.
Som vi skjønner av dette så er det motsatsen til sinus på en måte, de er alltid i samspill.

Tangens kommer fra Latin fra ordet “tangere“ som betyr “å ta på” eller “berøre“, som i det engelske ordet “tangible“.
Tangens er forholdet mellom de to katetene. Dette vil gi mer mening senere, men du har sikkert hørt ordet “tangensielt“, som i relasjon til sirkler vil si en strek som går ut fra omkretsen på en slik måte at den alltid er 90° i forhold til radien (venstre), eller mer matematisk korrekt er vel å si at det er en strek som går gjennom to uendelig nære punkter på en kurve (høyre):

BX er en korde (eng: chord)

Hvis et objekt blir slynget ut fra en sirkulær bane vil det alltid skje tangensielt.

Tangensen til en graf kan beskrive kurvens vekstrate i det punktet.

Sinus, cosinus og tangens representerer hver for seg forholdet mellom 2 sider i en trekant.
Hvilke 2 sider som forholdet beregnes fra bestemmer hvilken funksjon som er relevant.

Vi har hovedsakelig 9 trigonometriske funksjoner;

Forkortelsene sin, cos og tan er åpenbare og gir deg forholdet til en side ved en gitt vinkel.
Arcsin, arccos og arctan er forkortelser for “arcus sinus“, etc. Arcus betyr “kurve” eller “bue“ og gir deg vinkelen ved et gitt forhold.
Csc, sec og cot er forkortelse for cosekant, sekant og cotangent, respektivt og er det omvendte av sin, cos og tan (csc x = 1/sin x). Disse brukes ganske lite og kan ignoreres.

Arcsin, etc. forkortes ofte til asin, acos og atan, spesielt i programmering.

Matematisk skrives de inverse som oftest:

-1 i dette tilfellet betyr ikke at de er opphøyd i minus 1, men at de er de inverse funksjonene.

Hva er forskjellene på disse og hvorfor er de viktige?

• De normale funksjonene lar oss kalkulere sider når vi vet vinkler

• De inverse funksjonene lar oss kalkulere vinkler når vi vet sider

Men for å bruke disse funksjonene trenger vi å vite forholdene mellom sidene.

Og hvordan vet vi hvilken funksjon vi skal bruke når?

Vel, hvis vi tenker oss at trekanten vi jobber med står i enhetssirkelen som i eksemplene over, så gir det fort mening.

Men på engelsk har de en fin huskeregel som heter “SOHCAHTOA“.

Denne regla kan deles opp i tre; SOH, CAH og TOA. Den benyttes for å huske hvilken trigonometrisk funksjon som skal brukes avhenging av hva vi vet og hva vi skal finne.

Den første bokstaven i hver del beskriver hvilken funksjon som skal brukes (ord som følger er på engelsk): Sine SOH, Cosine CAH og Tangent TOA.
De andre bokstavene representerer Opposite, Adjacent og Hypotenuse.
Den første bokstaven etter funksjonen, f.eks O i SOA representerer det som skal stå over brøkstreken, og A’en naturlig nok det som skal stå under.

Ved å dele den ene siden på andre får vi et tall som vi kan mate inn i den respektive funksjonen.

Som vi husker fra grafen så kan vi kun bruke et tall mellom 1 og -1, og tallene vi bruker er som regel 0,ettellerannet, fordi sinus til 1 er 90°. Derfor må vi dele det minste tallet på det største, der det største av de to naturligvis alltid er hypotenusen, slik at vi får et tall som er mindre enn 1.

OBS! Denne huskeregelen er i sin normale form kun for å finne vinkler når vi kjenner hypotenusen og en katet. Det vil si, den benytter de inverse funksjonene.

Et eksempel:

Vi skal finne vinkelen X, vi vet hypotenusen og den hosliggende katet.
Basert på dette vet vi at vi må benytte cosinus-funksjonen.

Som vi vet fra huskeregelen, og for å få et forhold under 1, må vi dele kateten på hypotenusen.

Alstå får vi:

Dersom vi behøver å finne en side når vi vet en annen side og vinkelen må vi benytte litt algebra for å gjøre om på formelen.

Vi snur formelen litt, slik at vi kan finne forholdet med funksjonen og gange det med hypotenusen for å få den ukjente.

Slik at det blir:

Ergo får vi:

Hvis du bruker den normale sinusfunksjonen på en vinkel gir den deg et forhold. Bruker du den inverse på et forhold får du en vinkel.

Tangens-funksjonen er i en liten klasse for seg selv.

Som vi ser av huskeregelen er det den eneste av funksjonene som bruker begge katetene i kalkulasjonen.

Hva gjør vi dersom vi kjenner begge katetene og vinkelen, men ikke hypotenusen? Kan vi bruke tangens til å finne den?

Nei, dessverre kan vi ikke det (men sinus og cosinus kan det), ikke direkte hvertfall. Da må vi bruke Pythagoras. Tangens finner ikke lengden av hypotenusen, den finner lengden av streken som går 90° fra hypotenusen på sirkelen og ned til X-aksen. Slik:

Tangens til 60° blir 1,732… og vil da si at lengden av den røde streken er 1,732 ganger hypotenusen.

Som nevnt så er huskeregelen i sin normale form kun for å finne vinkler. Og det kan vi finne ved bruk av tangens.

Ved å dele den motstående på den hosliggende katet får vi et forhold som beskriver vinkelen. Bildet over er et godt eksempel.
Når vinkelen er 45° er sin og cos like, 0,7071… og noe delt på seg selv blir 1. Altså er tangens-streken like lang som hypotenusen.

Når vi nærmer oss 90 vil tangensen bli veldig stor, og for hver desimal du legger på vinkelen vil lengden øke logaritmisk, dvs, tan89,9≈572, tan89,99≈5729, tan 89,999≈57295, et cetera…

tan90 er uendelig og gir en feilmelding hvis du prøver å kalkulere det.

Så for å besvare spørsmålet jeg startet hele kapittelet med; hvorfor skal jeg kunne dette og når kommer jeg til å få bruk for det?

Først å fremst vil det å forstå trigonometri gi deg et nytt syn på verden rundt deg. Ikke det at jeg går rundt å ser sånn Matrix-kode hvor enn jeg går, men jeg legger merke til ymse rariteter som plutselig gir mening fordi jeg ser årsaken til dets design. Som f.eks. at gjengedybde er 0,866 ganger stigningen fordi gjenger er 60 grader og sinus til 60 er 0,866.

Mer praktiske eksempler:

Man kan bruke denne kunnskapen til f.eks å ta et halvt hundredels kutt på dreiebenken ved å stille toppsleiden i 30° i forhold til Z aksen, slik at en hundredels bevegelse på toppsleiden utgjør 0,005mm mating innover, fordi sin30=0,5.

Et annet eksempel er bruk av noe som på engelsk kalles en “sine bar“. Jeg er ikke sikker på hva det kalles på norsk, men en ekvivalent innretning er jo sinusbordet.

“Sinebar”

Sinusbord

Poenget med en “sinebar” - eller sinusbord for den delen - er at du kan oppnå ekstremt eksakte vinkler ved bruk av trigonometri.

Den består av to presist slipte sylindre som er festet til en presisjons-slipt blokk. Avstanden mellom sentere på sylinderne er kjent, alltid et rundt tall som f.eks. 100mm. Streken som går mellom senterne på disse utgjør hypotenusen i trekanten vår og er parallell med overflaten på blokken.

Så ved å bygge oppunder den ene sylinderen kan man øke vinkelen på en presis måte, vanligvis med passbiter.
I eksempelet over, dersom vi vil oppnå en vinkel på 15° må vi finne ut hvor høyt vi skal heve den ene siden.
Basert på lengden mellom aksene til sylinderne, må vi finne forholdet til 15° og gange det med denne lengden.

Sinus til 15 er 0,25881…etc., så dersom vi ganger dette med 100 får vi 25,881 mm. Så hvis vi bygger oppunder den ene sylinderen med 25,881mm vil vinkelen bli nøyaktig 15°.

Bak teppet:

Jeg nevnte at funksjonene er selvstendige funksjoner som gjør jobben sin på en litt skjult måte. Det er én ting å forstå hvordan man bruker dem, men det gir ikke noen dypere forståelse av hvordan selve funksjonene fungerer.

Når det er sagt er funksjonene kompliserte, ikke noe jeg kan gjøre rede for hvordan fungerer i inngående detalj, men det jeg vil poengtere er at de forsøker å gjengi sinuskurven fra en perfekt sirkel, altså approksimere verdiene som oppstår “naturlig“ mellom vinkler og en perfekt sirkel. Vi har ikke egentlig noen perfekt måte å gjengi hvordan en sinuskurve og en sirkel interagerer, men vi har funnet ulike måter å beregne ekstremt nøyaktige tilnærminger. Og det er godt nok. Taylor-serien er en av disse metodene jeg nevnte tidligere:

Under er en graf av Taylor-serien til høyre, og formlene for approksimeringen av sinus og cosinus til venstre. De forskjellige fargene representerer hvor nøye, eller hvor lang vi lager formelen så å si. Jo lenger vi lager formelen jo bedre approksimering av sinuskurven får vi.

Under er en animasjon som viser hvordan vi får en mer korrekt tilnærming jo flere ledd vi legger til i formelen. N = antall ledd.

Jeg går litt vel langt her nå, og snakker om ting som egentlig ikke er relevant for å faktisk bruke funksjonene, men det er fremdeles viktig for å forstå hva de egentlig er. Det er ikke nødvendig å vite dette for å forstå relasjonene og bruken av de trigonometriske funksjonene. Jeg forstår det ikke helt selv, men poenget jeg prøver å få fram er at sinus og cosinus er ikke magiske tall eller forhold, men funksjoner som påvirker tallet du putter inn.

Når du plopper det inn i kalkulatoren bruker den vanligvis noe som kalles for CORDIC-algoritmen. Kalkulatoren jobber som sagt i radianer, men forstår når du skriver ting i grader og viser deg svaret i grader dersom den er satt til det.

Det eneste jeg egentlig har kommet fram til er at jo mer jeg lærer, jo mer forstår jeg at jeg ikke vet.

Men i lys av det jeg nå har skrevet om, og med tanke på mine første paragrafer om skolen og læremetoder, så anbefaler jeg alle å lese Paul Lockhart sitt essay “A Mathematician’s Lament“ .