Kjenn dine akser!

Kjennskap til og forståelse for dimensjonene vår eksistens er begrenset til gjør at vi kan utnytte dem til vår fordel.

Vi lever i en 3-dimensjonal verden. Så langt i hvert fall.

Vi kan bevise det ved å tegne en strek, for så å strekke en ny strek fra den som er 90° i forhold til den første, på samme plan.

Dette kan vi gjøre én gang til, men den kan ikke være på det samme planet! Den nye streken er nå 90° på de to andre strekene.

Nå har vi 3 streker som peker hver sin retning. Kan vi gjøre det igjen? Nei, det går ikke, det er ikke flere dimensjoner å strekke seg ut i som gjør at en fjerde strek vil være 90° i forhold til alle de andre strekene.

Under er en visuell representasjon av dimensjonene. Legg merke til at selv om bildet vises på en 2D skjerm, kan vi fremdeles simulere 3 dimensjoner, som gir bildet perspektiv.

Men kanskje den ikke trenger å være det i den fjerde dimensjonen, hva vet jeg, men i de tre dimensjonene vi lever i går det i hvert fall ikke an.

En roterende hyperkube. Et forsøk på å visualisere en 4-dimensjonal kube, kjent som en tesserakt. Det ser ikke sånn ut, men alle vinklene er teoretisk sett 90°.

---

Kartesisk koordinatsystem

Et punkt på et plan er definert med et koordinat. Ordet koordinat er for øvrig et sammensatt ord av prefikset ko-, som betyr sammen eller til, og baseordet ordinat, som kommer fra Latin ordinare, og betyr å ordne eller sette i rekkefølge. Et ordinat er et punkt på samme linje parallelt med en akse, vanligvis Y-aksen i matematikk, og ordinater langs X-aksen kalles for en abscisse. Disse to verdiene… koordinerer… med hverandre for å definere et punkt på et plan. Dette er et koordinat.

Aksene som utgjør et koordinatsystem kalles X og Y, der X alltid er den horisontale og Y alltid er den vertikale.

Koordinater defineres med variablene X og Y i parentes slik: (X, Y) som definerer en distanse langs den respektive aksen fra nullpunktet i midten der aksene krysser. Dette punktet heter origo, fra Latin opphav eller opprinnelse. Variablene oppgis ALLTID i alfabetisk rekkefølge. (Den fjerde dimensjonen oppgis faktisk med W, men det er fordi det ikke er flere bokstaver etter Z i det engelske alfabetet. Kanskje vi burde kalle den Æ-aksen her til lands. Det angår uansett ikke oss, så nok om det.)

Et koordinatsystem er delt inn i 4 kvadranter. Ordet kvadrant kommer fra Latin quad, som betyr fire, eller fjerde, og derav quadrans som betyr en kvart. Det er vanlig å operere i den første kvadranten i et koordinatsystem. Første kvadrant er alltid opp og til høyre. Deretter går de mot klokken. Alle koordinater i første kvadrant er positive i forhold til origo.

Et punkt i rom er definert med 3 verdier. X, Y og Z. Men hvor går Z-aksen? Åpenbart perpendikulært til X og Y, men det kommer selvsagt an på referansebildet og hvor du ser det fra.

Et koordinatsystem kan enten være spesifisert ut fra et globalt referansepunkt, eller et lokalt referansepunkt. Et globalt referansepunkt vil si et koordinatsystem som er overordnet alle andre systemer i det. Et objekt i et globalt koordinatsystem kan ha en posisjon, rotasjon eller vinkling som gjør at dets lokale koordinatsystem er helt annerledes orientert enn det globale, men dets posisjon og rotasjon kan defineres innen det globale systemet det befinner seg i.

I et koordinatsystem med 3 akser er det 8 seksjoner. Disse kalles oktanter. Jeg trenger nok ikke forklare hvor det ordet kommer fra.

Hvis man ser nøye etter på bildet over, så ser vi at Z-aksen ligger ned og Y-aksen går vertikalt. Dette er for så vidt helt legitimt, men presenterer et unikt problem. Hvordan det koordinatsystemet vi bruker er orientert i det ultimate globale systemet alle koordinatsystemer er underlagt; virkeligheten.

Akkurat dette problemet med hvilken retning Z skal gå er noe som har plaget meg i lengre tid. Det virker som det er et problem som avhenger av hvordan du velger å se på det. Et problem som muligens har sine røtter i klasserommet når man først lærer om koordinatsystemer.
Se for deg at du har tegnet et 2-dimensjonalt koordinatsystem på et ark på et bord, liggende flatt på bordet som om du var eleven som skrev det i rutearkboken din; hvis du nå skulle legge til Z-aksen, hvilken retning ville den gått? Oppover, ikke sant? Opp fra bordflaten? Mot himmelen?
Eller gir det mer mening å se på tavlen til læreren, eller løfte opp boken, slik at Y-aksen nå peker oppover og Z-aksen nå kommer ut mot deg som på bildet over?

Jeg har alltid tenkt på det som det første eksempelet. At Z går oppover, gir rommet høyde, i motsetning til utover og gir rommet dybde.
Hvis du tenker deg rutenettet som jorden er delt opp i, altså lengdegrader og breddegrader, X og Y, så kan elevasjonen (altituden) , Z, kun gå én vei, opp.

---

I praksis

Sannheten er at begge måter å se på det er korrekt, men det er viktig å ha i tankene. Når vi beveger oss inn i praktisk bruk av koordinatsystemer, spesielt i maskiner, er det særdeles viktig å holde tunga rett i munnen og vite hvilken orientering maskinens koordinatsystem har, for å kunne korrekt forutsi maskinens bevegelser.

Heldigvis har vi flere tommelfingerregler for å hjelpe oss. Den første og viktigste er denne: Z er alltid spindelaksen!

Venstre: Vertikal fresemaskin. Høyre: Horisontal fresemaskin.

Regel nummer to er at alle bevegelser forekommer i forhold til spindelen.

For selve spindelaksen er Z+ alltid vekk fra arbeidsstykket.

På maskinen over er det bordet som beveger seg, mens spindelen står stille. Dette er ganske vanlig, men det er allikevel spindelen som er referansepunktet i maskinen. Alle bevegelser går i forhold til spindelen. På bildet over ser vi en ganske normal, universal vertikal fres. Pilene definerer aksenes positive og negative retninger i forhold til spindelen. Hvis vi skal bevege verktøyet til et positivt X-koordinat, vil bordet bevege seg mot venstre. Det samme gjelder Y. Hvis vi skal til f.eks. et negativt Y-koordinat, vil bordet bevege seg innover. Pilene på bildet over definerer retningene i forhold til spindelen. Hadde spindelen beveget seg hadde de vært “korrekt“, men siden den står stille og bordet beveger seg, blir det bevegelser omvendt for at bevegelsene skal bli korrekt i forhold til spindelen.

På maskiner hvor det ikke nødvendigvis er umiddelbart klart hvilken akse som er hvem og hvilken retning som er positiv, kan vi bruke en kjekk huskeregel:

---

Høyrehåndsregelen

Ved å holde hånden som på bildet over, og peke langfingeren langs spindelaksen, kan vi raskt og enkelt finne aksene i maskinen.

Denne regelen er så elementær i både matematikk, fysikk og mekanikk, at den til å med figurerer på Sveitsiske 200 Franc-sedler:

Kjent i Sveits som règle de la main droite på Fransk, eller Right Hand Rule på engelsk i resten av verden.

Kanskje mer kjent fra elektrisitetens verden, der den ofte brukes til å huske retningen på magnetiske felt og slikt, men den er like nyttig for oss som trenger den for å forme metall til vår vilje.

I dreiebenker er det litt annerledes siden det er arbeidsstykket som står i spindelen og verktøyet som står stille, men det er fremdeles spindelen som er primus motor når vi skal referere koordinatsystemet og aksene i en dreiebenk.

For at dette skal gi mening med håndregelen må vi faktisk benytte venstrehåndsregelen. Vi må også holde den opp som om vi peker pekefingeren mot taket.
Men det kommer selvsagt an på hva slags dreiebenk man jobber med, eller hvilken side av arbeidsstykket sleiden/verktøyet er montert.
Minus-retningen er alltid nærmere arbeidsstykket.

Dessverre er det slik at ikke alle maskinfabrikanter håndhever (get it?) disse “reglene“ og de stemmer ikke alltid. Men stort sett er de korrekt. Det er korrekt når de er korrekt.

---

Akseplan

Når to akser elsker hverandre veldig mye, former de et akseplan. Et plan er et to-dimensjonalt objekt og krever to retninger for å definere.

Siden det er 3 akser finnes det 3 primære akseplan.

Planene defineres med de to aksene som utgjør definisjonen av planet.
XY-planet er det horisontale planet, mens XZ og YZ planene er vertikale i hver sin retning.

---

Rotasjon

Akkurat som vi kan bevege oss langs aksene, kan vi i tredimensjonalt rom også bevege oss rundt dem. Hver akse representerer en mulighet for rotering rundt den, låst fast til den. Disse rotasjonsretningene kalles også akser; rotasjonsakser.

De er definert med bokstavene A, B og C, der de følger logisk alfabetisk rekkefølge og relasjon til X, Y og Z:

A er rotasjon rundt X.
B er rotasjon rundt Y.
C er rotasjon rundt Z.

Men hvilken rotasjonsretning er positiv?

Det må naturligvis defineres i relasjon til aksen den dreier om sin positive retning.

På samme måte som jorden, hvis du ser ned på den fra nordpolen dreier den mot klokka. Dette er korrekt for rotasjonsaksene også.

Ser man ned langs dem fra deres positive retning vil pluss-rotasjon være mot klokken.

Det finnes heldigvis en enklere måte å huske dette på, og igjen kommer vår gode venn høyrehåndsregelen til unnsetning igjen:

Hvis du former høyrehånden som om du skal signalisere tommel opp, og peker tommelen langs aksens positive retning, vil de resterende fingrenes pekeretning indikere positiv rotasjon.

---

Representasjon av aksene

I CAD-programmer og 3D-programmer heter den lille klumpen med 3 piler i hver sin retning en “triad”.
Den vises vanligvis i et hjørne på skjermen og brukes til orientering av skjermbildet. Tenk på den som et kompass.

Den oppstår også ofte på et punkt hvis du trykker på det, eller prøver å flytte noe.
Der brukes de hovedsakelig til å translatere (bevege lineært) og rotere - og i noen tilfeller - skalere.
Noen ganger vises de med akseplan, og tar man tak i de kan delen flyttes på planet.

Grunnen til at det kalles en “triad” er fordi den representerer et hjørne på en kube, og en triade er en av 3 (13) mulige symmetriakser i en kube:

Apropos ingenting: på engelsk heter en akse for axis, og flertallet er axes, uttalt med lang e, axees.

Du har sikkert sett triader før eller representasjoner av tre akser der aksene har hver sin farge. Du har sikkert også lagt merke til at de ofte varierer på hvilken farge som representerer hvilken akse?

Vel, det er én korrekt måte å farge aksene på, og det er igjen i logisk alfabetisk rekkefølge basert på de tre lys-additive primærfargene, Rød, Grønn og Blå.

X er Rød.
Y er Grønn.
Z er Blå.

Så sånn er det med den saken.

---

Euler-angles og Gimbal-lock

Rotasjon rundt primæraksene defineres i grader, og når disse 3 gradsystemene kombineres kalles de for “Euler-angles”, etter igjen, den legendariske Leonhard Euler.

En hvilken som helst vinkling og akse-rotasjon kan nåes innen 3 bevegelser.

Dette systemet visualiseres ofte med noe som kalles en “gimbal”. Tenk på det som en triade spesifikt for rotasjon.

Dersom du vrir en akse 90 grader slik at rotasjon rundt den nå koinsiderer med rotasjon rundt en annen akse, har vi oppnådd noe som kalles for “gimbal-lock“.

Med gimbal-lock mister man en rotasjonsakse og kan ikke lenger oppnå visse posisjoner/rotasjoner.

Men dette problemet angår ikke oss så veldig, men det er kjekt å ha i bakhodet. Det er et større problem i animasjon og 3D-grafikk, men nå har de noe som heter quaternions, som navnet tilsier bruker 4 verdier for å beskrive en vinkel og rotasjon, men det skal jeg ikke gå inn på fordi det er ikke relevant for dette innlegget og det er svart magi jeg ikke forstår meg på.

---

Magien av 5 akser

Dersom vi har en maskin med rotasjon rundt 2 akser, har vi totalt 5 bevegelige akser, og kan gjøre 5-akse maskinering. I slike maskiner er det vanlig å ha rotasjon rundt X og Z, altså A og C, men siden rotasjon rundt Y ikke er tilgjengelig eller relevant (man kan oppnå det ved å tilte A 90°), blir aksene ofte kalt A og B, spesielt i maskiner der bordet beveger seg og ikke spindelhodet, eller der rotasjonsaksene er lagt til senere eller på annet vis ikke integrale i maskinens design. Dette har flere årsaker, som å poengtere at aksene det dreier seg om er for bevegelse av arbeidsstykket eller bordet, og fordi C-aksen vanligvis definerer spindelaksen, og hvis man vrir A er ikke C lenger koaksial med Z.

Viktig notat: I en bordbasert 5-akse maskin er nullpunktet alltid der A-aksen og C-aksen (B), møtes.

Dessuten har ikke “C“ aksen noe formål i maskiner der man kan oppnå det samme resultatet med XY interpolering, men dersom man vrir A 90° slik at “C“ aksen nå er på linje med Y-aksen vil den ha et formål, og den fungere da teknisk sett som en B-akse.

En måte å tenke på det på er at med bordet i normalposisjon er B-asken gimbal-locked til C-aksen. Ved å vri A-aksen har vi nå tilgang til alle vinkler.

Under er to forskjellige eksempler på ulike 5-akse maskiner.

Bordbasert Maskin med A- og B-akse

Spindelbasert Maskin med A- og C-akse

Håper du nå er litt mer kjent med aksene vi forholder oss til på en daglig basis! Husk: Uansett hvilket koordinatsystem du befinner deg i, så lenge du er klar over det, med XYZ-ABC-RGB og høyrehåndsregelen så kan du aldri gå feil!

Sinus, cosinus og tangens

Det må være et universalt faktum at vi mennesker hater å bli påtvunget lærdom vi ikke ser nytten av. Dersom noe ikke interesserer oss er det verdens største motbakke å lære seg det. I samme grad tror jeg ikke det finnes det menneske som ikke på ett eller annet tidspunkt har yttret “når kommer jeg til å få bruk for dette?“ .

Det er interessant hvordan hva som definerer den grunnleggende skolegangen til stadighet øker i kompleksitet og omfang. En grunnskoleutdannelse er mer omfattende i dag enn den var for 100 år siden. Og med god grunn, siden den sosiale og teknologiske forståelsen som kreves for å fungere i dagens samfunn er langt større enn den gang. Vi vet mer nå enn vi gjorde da, og derfor tar det lenger tid å få folk “up to speed“ på dagens verdensbilde. At dagens skolesystem er totalt uegnet for den oppgaven er et annet kapittel, der dens primære oppgave fortsetter å være en utdatert doktrine for å masseprodusere akkurat-passe-kompetente fabrikkarbeidere, i denne digitale tidsalder og automasjonsrevolusjon, er en synd og en skam, men det er nå en gang slik det er inntil videre.

Når skal man sette grensen for hva som kreves av kunnskap hos et menneske som skal ha en grunnleggende forståelse for verden, og et godt grunnlag for videre spisskompetanse? Det er et godt spørsmål. Hva er grunnivået? Burde vi begynne å spesialisere oss tidligere?

Ingen kan vite alt om alt, men alle kan vite det meste om noe, og alle burde vite litt om det meste.

Vi har riktignok begynt å bevege oss i riktig retning, men det er fremdeles en lang vei å gå.

Det viktigste skolen kan lære en elev er kunsten å tilegne seg kunnskap selv.

Hvor relatert paragrafen over er til det jeg egentlig vil skrive om er jo en diskusjon i seg selv, men jeg ble inspirert til å skrive om dette siden det er noe jeg selv ikke forsto ordentlig før lenge etter min skolegang var avsluttet, og det skremte meg. Det er vel ikke alt for langt å strekke seg å si at alle har eller har hatt en aversjon for matematikk i en eller annen grad. Som det opprinnelige poenget mitt ga, “når kommer jeg til å få bruk for dette?” er et helt legitimt spørsmål, og spør du meg så er det ikke nødvendig at en trenger å lære å løse komplekse ligninger på videregående dersom en ikke skal ta høyere utdanning innen fagfelt som har behov for å kunne det, som fysiker eller matematiker. Når det er sagt så må jeg jo til skolesystemets forsvar si at det er jo heller ikke sånn; det finnes grader av matematikk basert på hvilket utdanningsløp man tar, så noe av det jeg etterspør eksisterer allerede, og mye av mine meninger er nok smurt med et tykt lag av subjektive oppfatninger som bunner i skoletretthet fra første gang jeg gikk på videregående. Men hvorfor ble jeg lei av skolen i utgangspunktet er poenget mitt? Visste jeg ikke hva jeg gikk til? Var jeg bare ung og dum? Eller var det et dypere problem med systemet?

Uansett hva årsaken måtte være, så har jeg nå endt opp som hovedsakelig maskinist og metallarbeider, som ifølge dagens skolesystem behøver noe som heter praktisk matte. Hvilket går ut på mer praktisk orientert matematikk som geometri og prosentregning og denslags, og ikke så mye fokus på algebra og sannsynlighet og slikt.

Hvilket er greit nok, et steg i riktig retning som sagt, og grunnlaget for dette innlegget er egentlig ikke frustrasjon over innholdet i utdanningen, men læringen av det. Jeg kan selvsagt ikke snakke for alle, og lærere har min ytterste respekt, (spesielt på videregående nivå der de må forholde seg til et veldig slitsomt stadie av et menneskes utvikling, folk burde egentlig ikke begynt på videregående i en alder av 16 spør du meg), men jeg spurte alltid om hvorfor ting er som de er, hva er grunnen til at det og det blir det, hva er årsaken til at det er slik, hvem fant det opp, hvorfor, hva brukes det til, etc. Hvilket jeg svært sjeldent følte jeg fikk et tilfredsstillende svar på. Og nå som jeg endelig har fått svar på det jeg den gang lurte på gir alt så mye mer mening, og min forståelse for subjektet er mye, mye større.

Men det er det som plager meg. Jeg fikk aldri forklart hvorfor noe er som det er. Jeg ble fortalt at slik er det og det må du pugge og kunne. Hvorfor jeg måtte pugge og kunne er igjen et spørsmål som kan rettes til mitt første paragraf, men lære det måtte jeg. Og å lære noe uten å forstå hvordan det fungerer eller hvorfor man må lære det er ikke bare ødeleggende for selvtilliten til eleven, det er også utmattende.

Så i lys av mine egne erfaringer med skolesystemet og nye forståelse for et felt som er av ypperste viktighet for folk i mitt yrke, her er mitt forsøk på å forklare trigonometri:

Av alle matematiske felt må geometri og trigonometri være de aller mest interessante for meg. Kunnskap man faktisk ofte har bruk for, og kan benytte praktisk på mange områder. Ordentlig forståelse av trigonometri får en til å se helt annerledes på verden.

Ordet TRIGONOMETRI kommer, som så mye annet, fra gresk, og betyr trekantmåling. Det er alt trigonometri handler om. Måling og beregning av trekanter.

Det handler i all hovedsak om å finne vinkler når vi vet lengder på sider, og vice versa. To dimensjoner som ikke nødvendigvis er direkte intuitivt sammenkoblet.
Så når man virkelig forstår trigonometri og forholdene det omhandler finner man så mye mer glede i å bruke det.

I all hovedsak er det de esoteriske matematiske funksjonene ved navn sinus, cosinus og tangens jeg vil snakke om. Det er mye annet som også er viktig å kunne innen trigonometri, mest grunnleggende Pytagoras læresetning, men også bl.a. sinus-setningen og cosinus-setningen (law of sine/cosine) for utregning av ting i ikke-rettvinklede trekanter, men hvis jeg skulle prøvd å forklare det kunne jeg blitt her en stund. Men disse litt mer avanserte formlene bunner i å gjøre om andre trekanter til rettvinklede trekanter for å regne dem ut, så det er vel ikke feil å si at all trigonometri stammer fra den rettvinklede trekanten. Priset være den.

Så la oss holde oss til rettvinklede trekanter. Litt kvikk oppfriskning;

En rettvinklet trekant er en hvilken som helst trekant der én av vinklene er 90°:

Firkanten i høyre hjørne betyr at denne vinkelen er 90°. Vinklene i en trekant blir alltid til sammen 180°. Dette gjelder alle trekanter. Det kan bevises på ulike måter, men hvis du forestiller deg at den nederste streken ble kortere og kortere, og den vinkelen som er 30° kom nærmere og nærmere den høyre siden av trekanten, ville den gradvis også nærme seg 90°, helt til du ender opp med 2 streker som går rett opp og ned, og ligger oppå hverandre som begge er “90°“. 2x90=180. Tada.

Den lengste siden er Hypotenusen. Hypotenus kommer fra latin og gresk og betyr “strukket under“, hypo- (under) og ten- (strekke, som i eng. tensile strength).
Spør meg ikke hva det liksom er meningen at den skulle være strukket under, men jeg tenker at det er ment mer abstrakt enn bokstavelig, i den forstand at den er strukket mellom to punkter under forholdene eller kunnskap om hva disse strekene er, eller noe i den duren.

De to andre sidene som sammen utgjør 90°-hjørnet er Katetene. De kan navngis ytterligere, basert på hvor vinkelen vi snakker om ligger. I tilfellet over vil den nederste linjen hete “hosliggende katet” (eng. adjacent side) og den høyre linjen vil hete “motstående katet“ (eng. opposite side).

Navngivningen er nokså selvforklart, den motstående katet er den som vinkelen “peker på“, så hadde vinkelen vi snakket om vært den oppe til høyre ville navnene vært motsatt. Dette er viktig senere.

Hva er egentlig en vinkel og hvorfor er 90° rett?

Hvorfor bruker vi 360°? Vel, det er mange måter å uttrykke vinkel på, det er mer eller mindre tilfeldig at vi bruker grader mest. En sirkel er delt opp i 360 grader, men det er ikke noe iboende sammenheng mellom sirkler og tallet 360. Vi kunne like gjerne brukt 1000 eller 548, men sistnevnte høres ikke spesielt enkelt ut å regne med. Grunnen til at vi bruker 360 er av samme grunn som minutter og timer er delt inn i 60, det er flere faktorer for disse tallene enn mer runde tall i 10-tallsystemet.

360 har 24 faktorer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360

400 for eksempel har bare 15: 1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,200,400

Da det metriske system var under utvikling i Frankrike på 1700-tallet var det et forsøk på å flytte over til å regne med 400 grader, slik at en rett vinkel ble 100°, men det var ikke noen suksess, p.g.a. poenget over. Men dette er faktisk i noe bruk i dag og heter en gradian.

Kanskje vi burde delt inn en sirkel i 5040? Det tallet har hele 60 faktorer!

Men det finnes en enda bedre, mer matematisk sammenhengende måte å uttrykke vinkler på: Radianer

Hvorfor tar jeg opp dette? For å virkelig forstå sinus og kompani må vi vite om radianer.

Radianer er en måte å uttrykke vinkler på med radien til en sirkel. Størrelsen på denne sirkelen er likegyldig, siden det er er forhold vil det alltid stemme. Omkretsen av en sirkel er som kjent 2πr, så 180 grader av en sirkel langs sirkelen blir π ganger radien. Hvis vi kunne uttrykt vinkelen som en del av denne omkretsen så kan vi si at vinkelen er en andel av π ganget med radien. Hvis vi pakker radien rundt sirkelen langs omkretsen slik:

Da får vi 1 radian. 1 radian tilsvarer 57.2957795°, hvilket ikke er så brukervennlig i dagligtale.

90° blir rundt 1.57 rad. 3 rad blir nesten 180°. 180 grader er 3,1415 rad, altså πrad. 360° blir altså 2πrad.

Så hvis radien er 1 blir en hel omkrets 6,28…..etc. Derav 2πr. Eller πd om du vil. Eller τr om du føler deg ekstra dristig.

Her er en fin animasjon som illustrerer det godt, hentet fra Wikipedia:

Radianer er altså en renere, direkte sammenhengende, matematisk uttrykkelse av vinkel. Når du regner ut grader på kalkulatoren så regner den med radianer og omgjør det til grader som vi er mer vant til og lettere for oss å lese. Dersom du setter kalkulatoren til å vise rad så ser du svaret i rad, hvilket har forvirret meg ved flere anledninger der jeg ikke så at den var stilt til rad og ikke deg (degree). De fleste formler som omhandler vinkler og slikt på akademisk nivå bruker radianer.

Omgjøringen av radianer til grader er:

Siden π rad tilsvarer 180° så deler vi opp π i 180 (som blir ca. 0.017 ) og ganger med hvor mange grader vi hadde i vinkelen vår, så får vi hvor mye av π det tilsvarer.

Likedan, når vi gjør om fra rad til deg, så må vi dele opp 180 i π deler (som blir ca. 57,3) og så gange med hvor mange rad vi hadde.

Dersom franskmennene fikk det som de ville og gradianer (400° i en sirkel) hadde blitt standard, ville formelen sett helt lik ut, bare med 200 istedenfor 180.

Så hva har dette med sinus, cosinus og tangens å gjøre?

Vel, kun som bistand til å forstå hvordan de funker. Sinus, cosinus og tangens er funksjoner, mer bestemt trigonometriske funksjoner, mye på samme måte som de mer alminnelige aritmetiske funksjonene som pluss, minus, gange og dele, men de er en del mer komplekse.
Hvordan sinus og cosinus faktisk kalkuleres “bak teppet“, er avansert. Men det er ingen standard måte og regne det ut på, ulike algoritmer eksisterer for å approksimere resultatet av funksjonen. Noe som heter Taylor-serien kan brukes for å beregne en kurve som ligner så mye på en sinuskurve som mulig, mer om det senere.

En sinuskurve er spesiell fordi den beskriver en perfekt periodisk bevegelse. En periodisk bevegelse er som man kan tenke seg noe som gjentar seg om igjen og om igjen i et likt mønster over tid:

Eksempelet over er ikke en perfekt sinuskurve (eng. sine wave), men en sinusoid. Som vi lærte i innlegget om stål, så er noe som er -oid noe som ligner på noe, men ikke er det eksakt. Men de kalles gjerne sinuskurver uansett. Men hvorfor ser de sånn ut? Handlet ikke dette om trekanter? Joda. Men kurven er en graf av sinusfunksjonen, så for å forstå funksjonen må vi forstå grafen, og for å forstå grafen må vi se på forholdene i trekanten.

Hva er disse forholdene og hva betyr de?

Nå kommer vi egentlig til selve hjertet av temaet. Forholdene mellom sidene i en rettvinklet trekant. La oss gå tilbake til den første trekanten vår:

I eksempelet over er θ (theta) 30°. Sinus til 30° er 0,5. Hva betyr det? Det er lettere å visualisere hvis vi putter trekanten inn i noe som kalles enhetssirkelen, en sirkel med radie 1, med senter i origo.

Til høyre er et eksempel på en klassisk representasjon av enhetssirkelen.

Den viser 3 vinkler innen hver kvadrant, samt kardinal-retningene, i radianer i form av deler av pi.

Tallene i parentes viser koordinatene til det punktet uttrykket i fraksjoner av radien.

Vi skal forholde oss til en litt enklere utgave:

Alle strekene som går ut av senter i kardinal-retningene tilsvarer radien, akkurat som hypotenusen i trekanten, altså linje C.
Lengden av linje A og linje B er avhengig av vinkelen θ.

Men hva BETYR dette tallet?

Det betyr at ved en gitt vinkel er den gjeldende katet like lang som hypotenusen ganget med sinus/cosinus til vinkelen.

Sinus gir lengden til den vertikale streken i trekanten basert på vinkelen. Når vinkelen er 30° ser vi at den er like lang som halvparten av hypotenusen, altså radien, altså er den 0,5.

Vi kan bevise det visuelt at sin30 = 0,5:

Sinus til 45° er 0,707… Sinus til 60° er 0,866… Og så videre. Jo nærmere vinkelen nærmer seg 90° jo nærmere vil sinus til vinkelen bli 1.

Så hvis vi plotter inn flere punkter ser vi at det begynner å danne en sinuskurve:

View fullsize

Klikk på bildet for å se en større versjon

De røde horisontale strekene til høyre i visualiseringen over er lengden på kurven fra (1,0) opp til det punktet langs omkretsen av sirkelen. På den måten blir en sirkel om til en rar bølge.

Resten av kurven er bare ekstrapolert ut av flere tenkte punkter langs resten av sirkelen. Vi ser at i neste kvadrant vil Y fortsette å være positiv, men X går mot null og vil bli negativ, derav den nedadgående kurven, og når Y blir negativ i de to neste kvadrantene vil sinuskurven dukke under på samme måte. Men den totale avstanden fra start langs sirkelens omkrets fortsetter å øke, derfor fortsetter bølgen stadig til høyre.

Her er en bedre visualisering, også hentet fra Wikipedia:

Over ser vi en representasjon av en perfekt sinuskurve som følger enhetssirkelen.
Den blå streken er et punkt som beveger seg langs omkretsen. Hvis vi trekker en strek fra origo (senter av sirkelen) til dette punktet får vi en strek med lengde r, altså 1 i dette tilfellet. Ettersom den blå streken beveger seg langs omkretsen øker vinkelen til denne streken i forhold til x-aksen. Hvis vi så trekker en strek fra det blå punktet ned til x-aksen, så vil dette representere “høyden“ til punktet langs y-aksen til enhver tid. Hvis vi følger den gule vertikale streken fra den blå streken og til den røde i grafen, så ser vi hvordan denne “høyden” representeres av den røde streken ettersom det blå punktet traverserer omkretsen. Dette er sinuskurven.

Her ser vi tydelig forholdet til radianer også; en halv π blir rett opp, altså 90°, sinus til 90 er altså 1, og hvis vi prøver det på kalkulatoren ser vi at det stemmer.

Hvis vi plotter det inn i et koordinatsystem vil vi se at amplituden (Y) til kurven som følger enhetssirkelen alltid går mellom 1 og -1, og fullfører en syklus når X=2π

De trigonometriske funksjonene er også ikke-lineære, som vil si at du vil få det samme svaret selv om du øker tallet, så lenge vinkelen som dannes er den samme i forhold til aksene.

Sinus fortsetter å være 0,5 for alle vinkler som skaper den samme lengden på den motstående katet:

f(x)=sinx

Som vi ser på grafen så kan forholdet bare være et tall mellom -1 og 1. Noe over eller under dette vil gi en feilmelding ved bruk av sin eller cos.

På samme måte vil SIN 390, altså en rotasjon + 30°, også bli 0,5.

Dette forklarer sinus, men hva er cosinus?

Hvis sinus er “høyden“ så er cosinus “bredden“. Cosinus definerer lengden på streken som danner “grunnlinjen” i trekanten vår. Altså den hosliggende katet. I motsetning til sinus som definerer den motstående katet. For å si det på en annen måte; koordinatene til punktet som dannes der hypotenusen treffer den tenkte sirkelen kan representeres i X og Y med cosθ og sinθ respektivt, der θ er vinkelen vår.

Vi kan se på bildet under hvordan forholdene mellom sidene i trekantene og vinkelen spiller sammen, og hvordan man kan tenke seg at de relaterer til en sirkel.

Cosinus er 90° “offset” sinus og danner en kurve som starter høyt men ellers er uadskillelig fra en sinuskurve, men den er en kvart syklus asynkron.

Hvil øynene dine på atter en fantastisk visualisering fra Wikipedia:

OK, det er funksjoner, så hva betyr de og hvordan brukes de?

Etymologien til ordet “Sinus“ er lang og knotete, men det kommer fra latin og betyr “favn“ “havn“ eller “bukt“, som er en mistolkning via arabisk og har sitt opphav fra sanskrit “jiva“ som betyr “korde“, hvilket i matematikk er et linjestykke som går mellom to punkter på en kurve (BX).

Cosinus er satt sammen av to deler; rot-ordet “sinus” med prefixen “co“, som betyr “sammen“ eller “motpart“.
Som vi skjønner av dette så er det motsatsen til sinus på en måte, de er alltid i samspill.

Tangens kommer fra Latin fra ordet “tangere“ som betyr “å ta på” eller “berøre“, som i det engelske ordet “tangible“.
Tangens er forholdet mellom de to katetene. Dette vil gi mer mening senere, men du har sikkert hørt ordet “tangensielt“, som i relasjon til sirkler vil si en strek som går ut fra omkretsen på en slik måte at den alltid er 90° i forhold til radien (venstre), eller mer matematisk korrekt er vel å si at det er en strek som går gjennom to uendelig nære punkter på en kurve (høyre):

BX er en korde (eng: chord)

Hvis et objekt blir slynget ut fra en sirkulær bane vil det alltid skje tangensielt.

Tangensen til en graf kan beskrive kurvens vekstrate i det punktet.

Sinus, cosinus og tangens representerer hver for seg forholdet mellom 2 sider i en trekant.
Hvilke 2 sider som forholdet beregnes fra bestemmer hvilken funksjon som er relevant.

Vi har hovedsakelig 9 trigonometriske funksjoner;

Forkortelsene sin, cos og tan er åpenbare og gir deg forholdet til en side ved en gitt vinkel.
Arcsin, arccos og arctan er forkortelser for “arcus sinus“, etc. Arcus betyr “kurve” eller “bue“ og gir deg vinkelen ved et gitt forhold.
Csc, sec og cot er forkortelse for cosekant, sekant og cotangent, respektivt og er det omvendte av sin, cos og tan (csc x = 1/sin x). Disse brukes ganske lite og kan ignoreres.

Arcsin, etc. forkortes ofte til asin, acos og atan, spesielt i programmering.

Matematisk skrives de inverse som oftest:

-1 i dette tilfellet betyr ikke at de er opphøyd i minus 1, men at de er de inverse funksjonene.

Hva er forskjellene på disse og hvorfor er de viktige?

• De normale funksjonene lar oss kalkulere sider når vi vet vinkler

• De inverse funksjonene lar oss kalkulere vinkler når vi vet sider

Men for å bruke disse funksjonene trenger vi å vite forholdene mellom sidene.

Og hvordan vet vi hvilken funksjon vi skal bruke når?

Vel, hvis vi tenker oss at trekanten vi jobber med står i enhetssirkelen som i eksemplene over, så gir det fort mening.

Men på engelsk har de en fin huskeregel som heter “SOHCAHTOA“.

Denne regla kan deles opp i tre; SOH, CAH og TOA. Den benyttes for å huske hvilken trigonometrisk funksjon som skal brukes avhenging av hva vi vet og hva vi skal finne.

Den første bokstaven i hver del beskriver hvilken funksjon som skal brukes (ord som følger er på engelsk): Sine SOH, Cosine CAH og Tangent TOA.
De andre bokstavene representerer Opposite, Adjacent og Hypotenuse.
Den første bokstaven etter funksjonen, f.eks O i SOA representerer det som skal stå over brøkstreken, og A’en naturlig nok det som skal stå under.

Ved å dele den ene siden på andre får vi et tall som vi kan mate inn i den respektive funksjonen.

Som vi husker fra grafen så kan vi kun bruke et tall mellom 1 og -1, og tallene vi bruker er som regel 0,ettellerannet, fordi sinus til 1 er 90°. Derfor må vi dele det minste tallet på det største, der det største av de to naturligvis alltid er hypotenusen, slik at vi får et tall som er mindre enn 1.

OBS! Denne huskeregelen er i sin normale form kun for å finne vinkler når vi kjenner hypotenusen og en katet. Det vil si, den benytter de inverse funksjonene.

Et eksempel:

Vi skal finne vinkelen X, vi vet hypotenusen og den hosliggende katet.
Basert på dette vet vi at vi må benytte cosinus-funksjonen.

Som vi vet fra huskeregelen, og for å få et forhold under 1, må vi dele kateten på hypotenusen.

Alstå får vi:

Dersom vi behøver å finne en side når vi vet en annen side og vinkelen må vi benytte litt algebra for å gjøre om på formelen.

Vi snur formelen litt, slik at vi kan finne forholdet med funksjonen og gange det med hypotenusen for å få den ukjente.

Slik at det blir:

Ergo får vi:

Hvis du bruker den normale sinusfunksjonen på en vinkel gir den deg et forhold. Bruker du den inverse på et forhold får du en vinkel.

Tangens-funksjonen er i en liten klasse for seg selv.

Som vi ser av huskeregelen er det den eneste av funksjonene som bruker begge katetene i kalkulasjonen.

Hva gjør vi dersom vi kjenner begge katetene og vinkelen, men ikke hypotenusen? Kan vi bruke tangens til å finne den?

Nei, dessverre kan vi ikke det (men sinus og cosinus kan det), ikke direkte hvertfall. Da må vi bruke Pythagoras. Tangens finner ikke lengden av hypotenusen, den finner lengden av streken som går 90° fra hypotenusen på sirkelen og ned til X-aksen. Slik:

Tangens til 60° blir 1,732… og vil da si at lengden av den røde streken er 1,732 ganger hypotenusen.

Som nevnt så er huskeregelen i sin normale form kun for å finne vinkler. Og det kan vi finne ved bruk av tangens.

Ved å dele den motstående på den hosliggende katet får vi et forhold som beskriver vinkelen. Bildet over er et godt eksempel.
Når vinkelen er 45° er sin og cos like, 0,7071… og noe delt på seg selv blir 1. Altså er tangens-streken like lang som hypotenusen.

Når vi nærmer oss 90 vil tangensen bli veldig stor, og for hver desimal du legger på vinkelen vil lengden øke logaritmisk, dvs, tan89,9≈572, tan89,99≈5729, tan 89,999≈57295, et cetera…

tan90 er uendelig og gir en feilmelding hvis du prøver å kalkulere det.

Så for å besvare spørsmålet jeg startet hele kapittelet med; hvorfor skal jeg kunne dette og når kommer jeg til å få bruk for det?

Først å fremst vil det å forstå trigonometri gi deg et nytt syn på verden rundt deg. Ikke det at jeg går rundt å ser sånn Matrix-kode hvor enn jeg går, men jeg legger merke til ymse rariteter som plutselig gir mening fordi jeg ser årsaken til dets design. Som f.eks. at gjengedybde er 0,866 ganger stigningen fordi gjenger er 60 grader og sinus til 60 er 0,866.

Mer praktiske eksempler:

Man kan bruke denne kunnskapen til f.eks å ta et halvt hundredels kutt på dreiebenken ved å stille toppsleiden i 30° i forhold til Z aksen, slik at en hundredels bevegelse på toppsleiden utgjør 0,005mm mating innover, fordi sin30=0,5.

Et annet eksempel er bruk av noe som på engelsk kalles en “sine bar“. Jeg er ikke sikker på hva det kalles på norsk, men en ekvivalent innretning er jo sinusbordet.

“Sinebar”

Sinusbord

Poenget med en “sinebar” - eller sinusbord for den delen - er at du kan oppnå ekstremt eksakte vinkler ved bruk av trigonometri.

Den består av to presist slipte sylindre som er festet til en presisjons-slipt blokk. Avstanden mellom sentere på sylinderne er kjent, alltid et rundt tall som f.eks. 100mm. Streken som går mellom senterne på disse utgjør hypotenusen i trekanten vår og er parallell med overflaten på blokken.

Så ved å bygge oppunder den ene sylinderen kan man øke vinkelen på en presis måte, vanligvis med passbiter.
I eksempelet over, dersom vi vil oppnå en vinkel på 15° må vi finne ut hvor høyt vi skal heve den ene siden.
Basert på lengden mellom aksene til sylinderne, må vi finne forholdet til 15° og gange det med denne lengden.

Sinus til 15 er 0,25881…etc., så dersom vi ganger dette med 100 får vi 25,881 mm. Så hvis vi bygger oppunder den ene sylinderen med 25,881mm vil vinkelen bli nøyaktig 15°.

Bak teppet:

Jeg nevnte at funksjonene er selvstendige funksjoner som gjør jobben sin på en litt skjult måte. Det er én ting å forstå hvordan man bruker dem, men det gir ikke noen dypere forståelse av hvordan selve funksjonene fungerer.

Når det er sagt er funksjonene kompliserte, ikke noe jeg kan gjøre rede for hvordan fungerer i inngående detalj, men det jeg vil poengtere er at de forsøker å gjengi sinuskurven fra en perfekt sirkel, altså approksimere verdiene som oppstår “naturlig“ mellom vinkler og en perfekt sirkel. Vi har ikke egentlig noen perfekt måte å gjengi hvordan en sinuskurve og en sirkel interagerer, men vi har funnet ulike måter å beregne ekstremt nøyaktige tilnærminger. Og det er godt nok. Taylor-serien er en av disse metodene jeg nevnte tidligere:

Under er en graf av Taylor-serien til høyre, og formlene for approksimeringen av sinus og cosinus til venstre. De forskjellige fargene representerer hvor nøye, eller hvor lang vi lager formelen så å si. Jo lenger vi lager formelen jo bedre approksimering av sinuskurven får vi.

Under er en animasjon som viser hvordan vi får en mer korrekt tilnærming jo flere ledd vi legger til i formelen. N = antall ledd.

Jeg går litt vel langt her nå, og snakker om ting som egentlig ikke er relevant for å faktisk bruke funksjonene, men det er fremdeles viktig for å forstå hva de egentlig er. Det er ikke nødvendig å vite dette for å forstå relasjonene og bruken av de trigonometriske funksjonene. Jeg forstår det ikke helt selv, men poenget jeg prøver å få fram er at sinus og cosinus er ikke magiske tall eller forhold, men funksjoner som påvirker tallet du putter inn.

Når du plopper det inn i kalkulatoren bruker den vanligvis noe som kalles for CORDIC-algoritmen. Kalkulatoren jobber som sagt i radianer, men forstår når du skriver ting i grader og viser deg svaret i grader dersom den er satt til det.

Det eneste jeg egentlig har kommet fram til er at jo mer jeg lærer, jo mer forstår jeg at jeg ikke vet.

Men i lys av det jeg nå har skrevet om, og med tanke på mine første paragrafer om skolen og læremetoder, så anbefaler jeg alle å lese Paul Lockhart sitt essay “A Mathematician’s Lament“ .

Pinnefresens anatomi og hvordan velge riktig verktøy til jobben

Pinnefreser (End Mill) er den vanligste formen for skjæreverktøy til universale freser og valg av riktig pinnefres til jobben som skal gjøres kan utgjøre en stor forskjell. Det er mange dimensjoner å ta hensyn til ved innkjøp og bruk av pinnefreser.

View fullsize

Både materiale som skal freses og applikasjonen er kritiske i valg av fres. 

Kuttdiameter og kuttlengde

Fresens diameter og kuttlengde er åpenbart en vesentlig del å ta hensyn til ved valg av fres. Tykkere freser tåler mer og er mer stabile. Rigiditet og motstand mot vibrasjoner og defleksjon er viktig når det kommer til fresing og derfor bør man bruke så tykk fres som det lar seg gjøre. 

View fullsize

Kuttdiameteren er diameteren på den teoretiske sirkelen som dannes når verktøyet spinner rundt. Dersom fresen ikke står sentrert vil kuttdiameteren øke og fresen vil hovedsakelig skjære på én tann, hvilket er langt fra ideelt.

Total lengde (Overall Length), flutelengde (Length Of Flute) og kuttlengde (Length Of Cut) er kritiske ved bruk av lange freser. Dersom en lang fres må benyttes er det bedre å bruke en med lang hals (lang LBS, Length Below Shaft) og kortere kuttlengde siden den har tykkere kjerne/aksel over en større del av den totale lengden enn en tilsvarende lang fres med lengre kuttlengde:

View fullsize

Akseldiameteren har også betydning for hva slags collet eller annen montering og oppspenning som må benyttes. Ofte er akselen tykkere enn kuttdiameteren slik at det kan være problematisk å komme til dersom man skal frese dype spor eller lignende.

Fluter

Antall fluter spiller en stor rolle for fresens materialfjerningsevne, matehastigheter, sponevakuering, stabilitet og defleksjon. En fres med flere fluter har en tykkere kjerne som gjør den bedre i stand til å stå i mot radiale krefter og kan derfor f.eks. ta dypere/lengre kutt (stikke lenger ned i arbeidsstykket).

View fullsize

Men med mange fluter blir hver flute liten, altså er det liten plass til sponet som produseres ved fresingen. 

View fullsize

Tradisjonelt kom pinnefreser i utforminger med 2 og 4 fluter, der tommelregelen var å bruke 2 fluter på bløte metaller som aluminium, kobber, etc. og 4 fluter på hardere materialer som stål og andre harde legeringer. Grunnen til dette er at bløte metaller som aluminium er lettere å maskinere, samt at de har en tendens til å pakke seg i flutene og hindre sponevakuering dersom flutene blir for små, mens stål og lignende stor sett krever sterkere freser og lager mindre og mer håndterlig spon som lettere lar seg evakuere selv med grunne fluter.

View fullsize

Med flere fluter kan man også benytte høyere matehastigheter eller oppnå finere overflate med samme matehastighet ved å øke antallet fluter. I moderne produksjon der det settes fokus på hurtig maskinering er flere fluter blitt populært fordi det gir sterkere freser som kan mates fortere og fjerne mer materiale samtidig som det forlenger levetiden til verktøyet grunnet lavere stress på hver tann/flute.

View fullsize

View fullsize

Mer fres gir plass til mindre fluter.

Med nyere materialforskning og produksjon er det blitt vanlig med 3 fluter for aluminium fordi det gir en god balanse mellom god sponevakuering og høye matehastigheter.

Endeutforming og profil

Endeutformingen er viktig med tanke på bruken og hvordan fresen skal bevege seg, spesielt med tanke på CNC maskiner.

View fullsize

Blant "normale" pinnefreser finnes det hovedsakelig 4 typer:

• Flat / "vanlig" pinnefres (Square / Flat Nose)
• Avrundet / Radius (Radius Corner / Bull Nose)
• Kule (Ball Nose)
• Fas eller formfres (Chamfer / Formed End)

View fullsize

View fullsize

Avrundede freser, eller radiefreser, er populære der det f.eks. ikke er kritisk med 90° skarpe innvendige hjørner og brukes mye til generell grovforming. Den avrundede kanten på eggen gir en jevnere trykkfordeling på den ellers skarpe tuppen av skjærene som gjør at verktøyet tåler mer og varer lengre. 

Kulefreser er på sett og vis også radiefreser, men de ender ikke opp i en flat del, de lager halvkuler. Disse er mye brukt til forming av kompliserte deler i 3-,4- og 5-akse CNC maskiner der myke overganger mellom passeringer er nødvendig eller rett og slett der det trengs en kanal eller innvendig form med en radius.

Fasefreser eller andre formfreser brukes gjerne til avsluttende passeringer for å fase kanter eller påføre spesielle former på deler av arbeidsstykket.

Når det gjelder flate pinnefreser finnes det hovedsakelig 2 typer: senterskjærende og ikke-senterskjærende

View fullsize

Forskjellen sier seg selv; den ene typen skjærer i midten og kan "plunge", altså stikkes rett ned i arbeidsstykket på samme måte som et bor, den andre kan ikke og må beveges i X eller Y for å skjære.

View fullsize

En annen litt interessant egenskap ved moderne pinnefreser er at tennene mot formodning ikke står helt symmetrisk, men er ofte slipt inn med små variasjoner i gradene mellom dem:

View fullsize

I eksempelet over er det avbildet en 4-fluters flat pinnefres som man skulle tro hadde tenner med 90° intervaller, men de er litt forskjøvet frem eller tilbake slik at ingen av tennene har lik vinkel mellom seg, men vinklene blir selvsagt fortsatt 360° totalt. Dette er for å forhindre "chatter" eller vibrering i verktøyet eller arbeidsstykket ved at fresen treffer en frekvens som resonnerer med intervallene på tennene. Så disse er litt forskjøvet for å forhindre dette.

Heliksvinkel

Heliksvinkelen er den aksiale vinkelen på flutene som går rundt akselen. Vinkelen måles mellom senterlinjen til fresen og en rett linje som går tangentielt langs kuttsiden.

View fullsize

En høyere heliksvinkel (45° og oppover) øker fresens evne til å skjære istedenfor å rive og vil stort sett gi en bedre overflate, men gjør fresen skjørere og svakere. En lavere heliksvinkel (30° og lavere) gir en sterkere fres med sterkere kuttsider, men fresen lager grovere overflater siden den river mer enn den skjærer og er bedre egnet til grovbearbeiding.

View fullsize

En fres med middels heliksvinkel (mellom 30° - 45°) vil være godt egnet til allround bruk med akseptable resultater.

View fullsize

Også her lekes det med parametre for å motvirke vibrasjoner og hakking. Høy-prestasjonverktøy har ofte variable heliksvinkler på hver flute som forhindrer ytterligere resonans og bryter opp mønsteret.

View fullsize

Flere illustrasjoner hentet fra Harvey Performance. 

Krag-Jørgensen kammer-ende (links trapesgjenger!?)

View fullsize

I det siste har jeg blant annet jobbet med å lage en bit av et Krag-Jørgensen løp. Det skal simulere kammer-enden av et Krag-løp for å øve på de diverse finurlighetene som omfatter Kragen og det er god trening i prosesser man ikke gjør så ofte.

View fullsize

Krag løpet er spesielt på mange måter, som gjør det utfordrende å lage det. For det første er gjengene linksgjenget trapesgjenger. Man kan undres om hvorfor. Trapesgjenger er sterke, og det sies at dette var noe Steyr ville ha da de lagde dem. Linksgjengene kan være begrunnet med at dette var en enklere måte å maskinere gjengene på med det utstyret de hadde eller noe i den duren, men det er vanskelig å si med sikkerhet hvorfor noen av disse særegne trekkene ble brukt. Men våpenet ble oppfunnet på en tid da det var hurtig utvikling i feltet og lite var standardisert som det er i dag. Tidlige Kongsberg-produserte Krager hadde firkantgjenger.

For det andre har løpet et frest og filt spor som løfter utdrageren vekk fra patronen slik at patronen ikke skal kunne gi den et støt bakover og oppover som kan gjøre at den lange utdrageren (2 på bildet under) fyker oppover og knekker. At systemet i det hele tatt krever en slik løsning er bare et bevis på et dårlig system spør du meg, men det er nå engang sånn. 

View fullsize

Så, hvordan dreier man trapesgjenger? Dette var det første jeg måtte takle. I bunn og grunn gjøres dette ikke noe annerledes enn vanlige gjenger, men det er et par viktige momenter å ta hensyn til.

Trapesgjenger er i stor grad, mye større grad enn vanlige 60° gjenger, avhengig av et godt og riktig profilskjær. Tykkelsen på skjæret varierer med stigningen og hver stigning trenger et dedikert skjær. Man kan ikke som med 60° gjenger bruke det samme verktøyet på så og si alle stigninger. Det vil si, man kan, men det krever at man gjenger med toppsleiden i en 90° posisjon og øker bredden på kuttet med den; det er ikke "korrekt" måte å gjenge på, men det kan gjøres.

Amerikanske trapesgjenger, også kalt Acme-gjenger, har en total profilvinkel på 29° og altså en flankevinkel på 14,5°. Høyden på gjengene er halvparten av stigningen.

Men Kragens trapesgjenger er ikke 29°, de er 30°. Dette er hovedsakelig den eneste forskjellen på Acme-gjenger og metriske trapesgjenger. 

I atter et fåfengt utbrudd over blanding av standarder og enheter må jeg forbanne de som tenkte det var en god idé å oppgi metriske trapesgjenger med en stigning i tommer. Løpet skal ha 12 gjenger per tomme; 25,4/12 = 2,116, altså er stigningen litt over 2mm...

... men gjengeprofilen bruker metrisk 30° trapesform som skulle tilsi at stigningen ville vært et rundt tall. Men neida.

View fullsize

Uansett, etter å ha høylytt utåndet min oppgitthet måtte jeg finne ut hvordan formskjæret skulle være. Det er vel og bra at jeg vet stigningen, som gir meg tykkelsen på skjæret ved midten av profilen (som er halvparten av stigningen), men hvor tykk skal tuppen være? Den må jo selvsagt være tynnere for å lage selve trapesformen. 

Det finnes en enkel formel, eller rettere sagt, konstant, som kan brukes for å beregne tykkelsen ved rot og tupp av trapesgjenger:

View fullsize

"Litt" refererer her til pasning og klaring for frigang i gjengene og varierer fra kilde til kilde, men for det meste har jeg sett 0,12 mm lagt til C og 0,24 mm lagt til D.

Men denne regelen gjelder for amerikanske Acme-gjenger og vil ikke være helt overførbar til metriske gjenger. Det er bare 1° forskjell, men det kan utgjøre litt endring. Ettersom vi øker flankevinkelen vil topptykkelsen gå mot 0P ettersom det til slutt blir et punkt og ikke en flate. På motsatt side vil dette forholde gradvis gå mot 0,5 P når vi senker flankevinkelen ettersom vi nærmer oss firkantgjenger der topptykkelsen og bunnbredden er lik. Så når vi øker flankevinkelen vil topptykkelsen synke.

Jeg kom med litt tvilsom trigonometri frem til at tuppen på skjæret mitt, uten noen hensyn til rotklaring ville være 0,644mm. Dette gir meg et forhold på 0,3043. Om dette er korrekt er jeg ikke 100% sikker på, men det fungerte greit så jeg må anta at det var noenlunde innenfor.

Med denne informasjonen kunne jeg begynne å tilvirke skjæret mitt. Jeg ville prøve å planslipe skjæret mitt så det ble så nøyaktig og bra som mulig, som en øvelse i presisjon og et forsøk for å se om det er verdt bryet. Det behøves en metode å spenne opp hurtigstålet som skal slipes slik at det kan stilles vinkler i to akser samtidig. Jeg fant en gammel gud-vet-hva som kunne strammes tilstrekkelig og stilles i to vinkler. Den måtte også være magnetisk for å sitte fast på magnetbordet til plansliperen.

View fullsize

Her stilles stålet inn til 15° for å slipe den første siden.

Dessverre har vi ikke tvinge som kan stilles i vinkel, og ihvertfall ikke en som kan stilles i to, så de lesere der ute som måtte grøsse/le over løsningen på bildet over etter min proklamerte higen etter presisjon vil være berettiget, men det var den løsningen jeg fant og det funket fint.

If it's stupid and it works, it ain't stupid.

View fullsize

Trapesgjenger har også vanligvis ganske stor heliksvinkel siden stigningen er så høy i forhold til diameteren, så dette er også en vinkel som må tas hensyn til. Flankene på gjengene er såpass rette og skjæret såpass "høyt" at det er viktig å slipe inn heliksvinkelen, samt klaringsvinkler på begge sider. 

View fullsize

Disse vinklene ble stilt inn og slipt, med den ene forskjell fra normale skjær at heliksvinkelen peker mot høyre og ikke mot venstre siden gjengene er linksgjenger.

View fullsize

30° form ferdig slipt, nå gjenstod kun å slipe spissen til korrekt tykkelse og bygge inn endeklaringen.

Da det var gjort var det på tide å prøve det nye skjæret:

View fullsize

Det ser lovende ut. Utfordringen her og noe som pinte meg litt var at siden gjengene er links så er den enkleste måten å lage dem på å starte innerst og mate utover, og uten et frispor gjør dette at man blir nødt til å øke kuttdybden med en gang man starter maskinen eller presse skjæret inn i stykket før man starter maskinen. Samt at man må være veldig påpasselig og ømfintlig med startspaken når man skal finne igjen begynnelsen av kuttet inne ved roten.

Det finnes bedre måter å gjøre dette på, og dersom man ville laget linksgjenger ved å mate innover må man montere skjæret opp ned og kjøre dreiebenken "bakover".

View fullsize

Gjengene ser korrekte ut, men passer de?

View fullsize

Jada. Litt langt gjengeparti, men det var ment som en øvelse/test. Jeg endte opp med å kutte ned lengden på dette partiet og bruke det videre.

Deretter ble kammeret rømmet og resten av emnet dreid ned til spec.

View fullsize

View fullsize

Det andre litt kinkige trekket ved Krag-løpet er som nevnt rampen til utdrageren. 

View fullsize

Her benyttet jeg litt Blue Dykem (halleluja) merkefarge for opprissing og skrudde på låsekassen for å merke opp hvor sporet måtte være. Dette sporet er ikke helt sentrert.

Igjen så kan jeg ved dette stadiet bare le av min søken etter presisjon med tanke på vinkler. Å rette noe etter stablede parallellklosser er ikke optimalt, men i mangel av noen enkel måte å vinkle etter stikka (f.eks. vinkel passbiter) funket dette helt fint.

View fullsize

Grovformen til sporet ble frest ut, men siden rampen har en konveks form må det files litt til slutt.

View fullsize

Som vi kan se på bildet under skal kurven i rampen (høyre) være slik at kanten sett ovenfra blir rett (venstre).

View fullsize

Etter mye testing og justering fungerte alt som det skulle. De siste to sporene ble frest i sidene og øvelsen var ferdig og ble godkjent.

View fullsize

En meget interessant oppgave som ga meg mulighet til å prøve meg på mer viderekommen gjenging og tilpassing.

Coriolis og Eötvös

Det er en stund siden siste innlegg, hovedsakelig fordi jeg ikke har gjort noe veldig spennende i det siste som jeg ikke har skrevet om før, og det nye jeg har lært er forbundet med prosjekter jeg enda ikke er ferdig med. Men nok om det. 

Vi har i det siste lært mye om ballistikk og ammunisjon. Dette er et bredt tema som kan forklares bedre av andre enn meg, og det finnes allerede flust med informasjon på nettet om prosjektiler, aerodynamikk og der tilhørende ballistikk i alle dets faser gjennom prosjektilets flukt fra tennstempel til mål. Men jeg kan nevne at det primært sett er 4 faser; indreballistikk, overgangsballistikk, ytreballistikk og terminalballistikk. 

View fullsize

Bildet over har lite med det jeg vil skrive om å gjøre, men det er et interessant bilde som viser trykkbølger fra kruttet og soniske trykkbølger fra prosjektilet. Det er tatt ved hjelp av Schlieren fotografi.

Det jeg derimot vil skrive om er fysiske effekter vi kan observere ved skyting på langt hold, og dermed dreier seg om ytreballistikken.

Corioliseffekten

Du har kanskje hørt om Corioliseffekten før, f.eks. fra meteorologer som snakker om tropiske stormer og orkaner og hvordan de spinner. Oppkalt etter den franske viteskapsmannen Gaspard-Gustave de Coriolis, og beskriver bevegelse til objekter i et roterende system sett fra et roterende referansepunkt. 

Det er mye usann og dårlig informasjon der ute om den tilsynelatende mystiske Corioliseffekten og hvordan den endrer hvilken vei vannet snurrer når man tømmer det ut av et badekar eller lignende på den nordlige kontra sørlige halvkule. Dette er selvsagt bare tull og har ikke noe med godeste Herr Coriolis å gjøre. Derimot påvirker den hvilken vei orkaner spinner på de to halvkulene, mot klokka på den nordlige, og med klokka på den sørlige.

Men Corioliseffekten er en ting man som skytter kan komme til å måtte ta hensyn til dersom det skytes på ektreme hold, type 800 meter eller mer. Vi var kun så vidt borti det på skolen, og den utgjør på ingen måte et utslag som er vesentlig for de aller aller fleste skyttere, men den omhandler hvordan jordens rotasjon påvirker kulens treffpunkt. Og det synes jeg er interessant. 

View fullsize

Denne vakre blå oblate sfæroiden som vi kaller hjem spinner rundt sin egen akse, fra vest mot øst. Mot klokka sett fra nordpolen.

Man kan ved første øyekast tenke seg at dersom man skyter over veldig lange avstander vil jorda snurre av gårde under kula og den vil lande et sted til høyre eller venstre for der man siktet, fordi mens kulen var i luften har målet flyttet seg litt p.g.a. det i motsetning til kula fortsatt var festet til kloden og fortsatte å snurre med samme hastighet. Dette er bare halvparten av sannheten og dersom vi hadde stått nettopp på nordpolen og skutt sørover ville akkurat dette skjedd.

View fullsize

Jorden har en hastighet på 1 rotasjon om dagen, som tilsvarer 0,000694 RPM.

Den har en omkrets på ca. 40075 km ved ekvator, og dette gir den en "overflatehastighet" på rundt 1650 km/t ved ekvator.

Dette tilsvarer ca. 460 m/s. Siden jorden spinner om sin akse vil denne overflatehastigheten gradvis gå mot 0 når vi beveger oss mot nordpolen eller sørpolen. 

Hvis vi hadde skutt i rett linje langs en lengdegrad som på bildet over ville kulen skjenet til vår høyre siden vi skyter fra en posisjon som har tilnærmet 0 overflatehastighet og ned til ekvator der bakken spinner med 460 m/s i forhold til oss. Så rent hypotetisk sett, hvis vi hadde kunnet skyte et prosjektil fra nordpolen til ekvator, på ett sekund, og dette prosjektilet fulgte jordens krumning, ville det ha havnet 460 meter til høyre for der vi siktet.

Dersom man skyter fra ekvator og mot nordpolen blir det ikke nødvendigvis mer tricky, men ved første tanke kunne man tenkt seg at prosjektilet vil skjene mot venstre siden jorden igjen spinner under kulen. Men dette er ikke tilfellet. Ja, jorden spinner under kulen, men vi skjøt fra et punkt med høy bakkehastighet og oppover der jordens omkrets er mindre og dermed har lavere bakkehastighet. Kulen ble skutt ut med 460 m/s mot høyre (siden jorden snurrer mot vår relative høyre i dette scenarioet) og vil derfor etterhvert ha høyere hastighet mot øst enn jorden lenger nord som ikke vil klare å "catche opp" med kulen og den vil "dra fra" jorden og treffe høyre for mål.

Dersom man skyter fra ekvator og mot sørpolen vil kulen fortsatt bevege seg østover, men det vil relativt til skytteren virke som den går mot venstre.

View fullsize

Størrelsen på Corioliseffekten avhenger altså av hvor lenge kulen oppholder seg i luften og hvor stor endring i bakkehastighet det er mellom skytter og mål. Som et praktisk eksempel kan vi prøve å se hvor mye det har å si dersom vi skyter 2000 meter fra S30 og mot sørpolen. 

Jorden er delt inn med et tenkt koordinatsystem som er pakket rundt kloden og deles opp i breddegrader og lengdegrader.

View fullsize

Breddegradene går øst-vest og representerer posisjon mellom nordpolen og sørpolen i grader fra ekvator.

Lengdegrader går nord-sør og representerer posisjon mellom øst og vest i grader fra null-meridianen som går gjennom Greenwich i London

1 breddegrad er ca. 111 km. Disse gradene deles så opp i 60 minutter (') og deretter opp i 60 sekunder ("). Ett sekund breddegrad er ca 30,8 meter. 2000 meter blir da 64,935 sekunder breddegrad.

2000 meter sør fra S30° langs null-meridianen blir da S30° 1' 4,935" E0° 0' 0" eller -30.018038 0 om vi bruker desimalgrader.

For å finne omkretsen til denne breddegradslinjen tar vi:

View fullsize

Der rlat er jordens radius ved denne breddegraden fra jordens sentrum, (holder vanligvis med 6378.137 km), men i vårt tilfelle er det 6372.819 km for målet og 6372.824 for vår posisjon. Dette ble funnet med denne kalkulatoren.

Lat er kort for latitude som er engelsk for breddegrad, og lengdegrad er forøvrig longitude. I vårt tilfelle er det kjekt å bruke desimalgrader fordi det er enklere å regne med og vi bruker da 30.018038 for målet og 30 for vår posisjon.

Jordens omkrets ved denne breddegraden blir da 34670,7404348 km i forhold til startposisjonen vår som er 34677,0723587 km. Forskjellen i omkrets er 6331,923 m. Med litt rask matte kommer jeg frem til at forskjellen i bakkehastighet mellom disse breddegradene er 0,073 m/s. 7,3 centimeter i sekundet. Så hvis kula bruker, la oss si 3 sekunder, på å komme frem så havner den ca 22 cm til venstre. Bare pga. jordens rotasjon. Finurlig!

Denne effekten gjelder hovedsakelig ved baner som går nord-sør og vil avta ettersom man skyter mer og mer mot øst eller vest og jo nærmere man kommer ekvator.

View fullsize

Det som antakeligvis enda færre vet er at treffpunktendring ved skyting i øst-vest har svært lite med Coriolis å gjøre. Det er mye surr rundt dette også og mange som snakker om Corioliseffekten vet ikke eller glemmer å nevne at den har så godt som ingen innvirkning ved skyting rett øst og vest. Det var her jeg lærte noe nytt. Det er nemlig en effekt som heter Eötvös effekten.

Eötvös effekten

Oppkalt etter den ungarske fysikeren Loránd Eötvös, og er enkelt forklart en endring i oppfattet tyngdekraft på en masse grunnet endring i sentrifugal akselerasjon mot øst eller vest.

Denne effekten har egentlig ikke noe særlig med skytterverdenen å gjøre, og mer med fysikk og aerospace, og blir blant annet nevnt av Einstein i hans teori om relativitet. Både Coriolis og Eötvös effekten har mye mer praktisk betydning for f.eks. artilleri.

Men likeså er det denne effekten som forårsaker treffpunktendring opp eller ned ved skyting på lange hold øst-vest. Man kan si at Coriolis på sett og vis også spiller en liten rolle her, med tanke på at målet kommer nærmere kula ved skyting mot vest og går fortere fra ved skyting mot øst, men det er ikke det Coriolis effekten beskriver og det er en forenkling av det hele. Det er hovedsakelig Eötvös effekten som gjør at kulen får høyere sentrifugalkraft når den blir skutt med jordrotasjonen og lavere når den blir skutt mot. Derfor blir den "slengt" litt ut mot verdensrommet og vil treffe høyere ved skudd mot øst og vil "stå mer stille" relativt til jorda og falle raskere ned mot bakken og derfor treffe lavere ved skudd mot vest. Jeg skal ikke gå inn i matten her for den er komplisert og unødvendig, men det er av samme grunn at tyngdekraften oppleves lavest ved ekvator og at rom-raketter blir skutt ut med jordrotasjonen nettopp her; det krever mindre energi å "slenge" dem i bane.

Men jorden er jo flat uansett så hvem bryr seg.

View fullsize